spazi metrici numerabili e completi (topologia)

[angus89]

Sia \( \displaystyle {\left({X},{d}\right)} \) uno spazio metrico (al più) numerabile che contiene almeno due punti

Dimostrare che
1-Se è completo allora non è connesso
2-Non è connesso in ogni caso (suggerimento: usare la funzione distanza)



commenti pesonali
Se lo spazio è finito la tesi segue banalmente dal fatto che uno spazio metrico finito ha la topologia discreta (tutti i sottoinsiemi sono aperti).
Attenzione! Uno spazio metrico numerabile non è detto dotato della topologia discreta! Esempio: \( \displaystyle \mathbb{Q} \), infatti in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) i punti non sono aperti.

L'esercizio non credo sia difficile ma proprio non trovo la strada...

[maurer]

Siano \( \displaystyle a, b \in X \) due punti distinti e poniamo \( \displaystyle r_0 = d(a,b) \) . Consideriamo ora la famiglia di insiemi \( \displaystyle \{B_r\}_{r\in (0,r_0)} \) definiti da

\( \displaystyle B_r := \{x \in X: d(a,x) = r\} \)

Se per assurdo nessuno di questi insiemi fosse vuoto, sarebbe possibile costruire una funzione iniettiva da \( \displaystyle (0,r_0) \) in \( \displaystyle X \) , che quindi non sarebbe numerabile. Assurdo.
Sia pertanto \( \displaystyle \rho \) tale che \( \displaystyle B_\rho = \emptyset \) e consideriamo gli insiemi

\( \displaystyle A:= \{x \in X: d(a,\rho) < \rho\} \)

e

\( \displaystyle B:= \{x \in X: d(a,x) > \rho\} \)

Ora, questi insiemi sono aperti (il primo fa parte della base dello spazio metrico, il secondo è facilmente scrivibile come unione di aperti). D'altronde deve anche essere \( \displaystyle A\cup B = X \) per la scelta di \( \displaystyle \rho \) , sicché, essendo ovviamente \( \displaystyle A \cap B = \emptyset \) e \( \displaystyle a \in A \) , \( \displaystyle b\in B \) , segue che lo spazio non può essere connesso.

Non vedo come farci entrare la completezza dello spazio, però... (cioè, questa argomentazione risolve entrambi i punti, però non capisco dove salti fuori la semplificazione con l'ipotesi aggiuntiva della completezza)...

Come ti sembra?

[dissonance]

La completezza attiva il teorema di Baire. Precisamente, in uno spazio metrico completo l'unione numerabile di chiusi a interno vuoto ha essa stessa l'interno vuoto. Supponiamo allora, per assurdo, che lo spazio sia connesso: siccome i singoletti sono chiusi (ogni spazio metrico è di Hausdorff), non possono essere pure aperti (ipotesi di connessione) quindi hanno l'interno vuoto. Ma allora tutto lo spazio dovrebbe avere l'interno vuoto, perché unione numerabile di singoletti: contraddizione.

[maurer]

Ah, ecco perché non mi diceva nulla... nel nostro corso nessuno si è mai preso la briga di parlare del teorema di Baire...

[gugo82]

[OT]

La completezza attiva il teorema di Baire.

Incredibile come a chi ha fatto Analisi Funzionale il Lemma di Baire venga così subito in mente, vero dissonance?
M'è bastato leggere il testo e... ZAC... Lemma di Baire.
Poi ho letto la tua risposta e mi son detto: "Menomale, non sono ancora troppo vecchio" (cosa che mi viene in mente spesso di recente).

[/OT]

[angus89]

sisi....effettivamente avrei dovuto pensare a Baire, prima bastava dirmi numerabile per pensare a Baire e adesso...
Va bè, ma il secondo punto toglie l'ipotesi di completezza dello spazio...
Per quale motivo uno spazio metrico numerabile non dovrebbe esser connesso?

Le strade che mi vengono in mente sono due:
-Uno spazio metrico numerabile è uno spazio completo (e ricadiamo nel caso precedente)
-Uno spazio metrico numerabile è di Baire (verifica le condizioni che ha dato Dissonance)

[dissonance]

@angus: Sono contento che tu conosca il lemma di Baire, questo vuol dire che probabilmente era la strada "giusta" pensata dall'estensore dell'esercizio. In realtà anche io avevo dei timori analoghi a quelli di Gugo, di stare usando cannoni per sparare alle mosche! Meglio così. @Gugo: Si vede che tra anziani ci si intende!

Comunque, angus, il tuo ultimo post è privo di senso. Perché uno spazio metrico numerabile non è connesso? La dimostrazione è quella che dice maurer; se vuoi una idea intuitiva, puoi pensare ad uno spazio numerabile come ad un affare "granulare", quindi addio connessione. Lascia stare Baire che non serve: è stato un utile esercizio ma nulla di più.

[angus89]

si, effettivamente quello che ha scritto maurer funziona...bè allora problema risolto
Grazie a tutti

[dissonance]

*** EDIT *** L'argomentazione di maurer è giusta. Scusate. Metto in spoiler il pezzo errato.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Aspetta aspetta mi sa che la dimostrazione di maurer è sbagliata. Mi è venuto in mente ripensando alla natura "granulare" dello spazio:

Siano \( \displaystyle a, b \in X \) due punti distinti e poniamo \( \displaystyle r_0 = d(a,b) \) . Consideriamo ora la famiglia di insiemi \( \displaystyle \{B_r\}_{r\in (0,r_0)} \) definiti da

\( \displaystyle B_r := \{x \in X: d(a,x) = r\} \)

Se per assurdo nessuno di questi insiemi fosse vuoto, sarebbe possibile costruire una funzione iniettiva da \( \displaystyle (0,r_0) \) in \( \displaystyle X \) , che quindi non sarebbe numerabile. Assurdo.

Ma non è così. Prendi \( \displaystyle \mathbb{Q} \) . Non puoi mai trovare un intorno aperto di un numero razionale che non contenga altri numeri razionali, quindi l'argomentazione si blocca.

In ogni caso io seguirei la strada che segue. [/edit]

Fissiamo un punto \( \displaystyle a\in X \) e definiamo \( \displaystyle f(x)=d(a, x) \) . Abbiamo una applicazione \( \displaystyle f\colon X \to [0, \infty) \) continua: se per assurdo \( \displaystyle X \) fosse connesso l'immagine di \( \displaystyle X \) mediante \( \displaystyle f \) dovrebbe essere un sottoinsieme connesso di \( \displaystyle [0, +\infty) \) , quindi un punto oppure un intervallo. Entrambe le eventualità sono assurde: nel primo caso concluderemmo che \( \displaystyle X \) consiste di un solo punto, nel secondo che esiste una applicazione surgettiva definita nell'insieme al più numerabile \( \displaystyle X \) e a valori in un intervallo (che è sempre più che numerabile).