spettri ampiezze e fase.

[Lionel]

Salve! Graficare lo spettro di fase e di ampiezza del seguente segnale \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={3}{r}{e}{c}{t}{\left({3}{t}\right)} \) Fatta la trasformata di Fourier si realizza il grafico, come non lo ho ancora capito Spero mi potrete aiutare.

[Lionel]

Devo essere più preciso mi sa. Allora se mi chiedono di graficare semplicemente lo spettro è la stessa cosa se mi chiedessero di graficare lo spettro di ampiezza? Cioè devo graficare la trasformata di fourier del segnale che mi viene fornito?

[elgiovo]

La trasformata di Fourier è una funzione complessa, e per ogni valore della frequenza è individuata da un'ampiezza e da una fase. Nel caso della funzione \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={3}\cdot\text{rect}{\left({3}{t}\right)} \), reale e pari, lo spettro è puramente reale e pari, dunque la fase vale \( \displaystyle {0} \) laddove l'ampiezza è positiva, \( \displaystyle -\pi \) altrimenti. In questo caso, tra l'altro, le oscillazioni tra questi due valori sono infinite (basta tenere a mente l'andamento del seno cardinale).

[Lionel]

La trasformata di Fourier è una funzione complessa, e per ogni valore della frequenza è individuata da un'ampiezza e da una fase. Nel caso della funzione \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={3}\cdot\text{rect}{\left({3}{t}\right)} \), reale e pari, lo spettro è puramente reale e pari, dunque la fase vale \( \displaystyle {0} \) laddove l'ampiezza è positiva, \( \displaystyle -\pi \) altrimenti. In questo caso, tra l'altro, le oscillazioni tra questi due valori sono infinite (basta tenere a mente l'andamento del seno cardinale).

Altro problema è cosa accade con una traslazione? se vado a considerare \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={3}\cdot\text{rect}{\left({3}{t}-{5}\right)} \) avrò una sinc moltiplicata per un espondenziale e quì le cose, almeno per me si complicano...

[elgiovo]

Non preoccuparti, è più facile di quello che sembra. Hai \( \displaystyle {\mathcal{{F}}}{\left[{3}\cdot\text{rect}{\left({3}{t}-{5}\right)}\right]}={\mathcal{{F}}}{\left[{3}\cdot\text{rect}{\left[{3}\cdot{\left({t}-\frac{{5}}{{3}}\right)}\right]}\right]}={3}\cdot\frac{{1}}{{3}}\cdot\text{sinc}{\left(\frac{{f}}{{3}}\right)}\cdot{{e}}^{{-{j}{2}\pi{f{\cdot}}\frac{{5}}{{3}}}}=\text{sinc}{\left(\frac{{f}}{{3}}\right)}\cdot{{e}}^{{-\frac{{{j}{10}\pi{f}}}{{3}}}} \). Il modulo è lo stesso che nel caso senza ritardi, la fase invece è lineare con la frequenza (oppure a dente di sega, se consideri fasi comprese tra \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle {2}\pi \)).

[elgiovo]

Un piccolo appunto, giusto per evitare fraintendimenti: lo spettro del rect è un seno cardinale. Lo spettro di ampiezza non può ovviamente essere negativo (si tratta di un modulo), quindi il disegno è un modulo di seno cardinale. In genere non si disegna così, perchè è inutile distinguere tra ampiezza e fase nel caso di spettro puramente reale: si risparmia un grafico!

[Lionel]

Dove hai studiato questo cose? Su che libro o su che file/sito?

[elgiovo]

Sono proprietà, se vogliamo banali, della trasformata di Fourier. Le trovi in qualsiasi libro di teoria dei segnali (es. Luise - Vitetta, Teoria dei Segnali).

[Lionel]

Sono proprietà, se vogliamo banali, della trasformata di Fourier. Le trovi in qualsiasi libro di teoria dei segnali (es. Luise - Vitetta, Teoria dei Segnali).

Ti ringrazio, ma il professore ha detto che bastano gli appunti del corso, solo che io vorrei approfondire e vorrei comprare un buon libro per me...il libro hche suggerisci ha dei numerosi esempi? Anche risolti? grazie mille

[elgiovo]

Il tuo nobile intento di approfondimento va premiato con un libro altrettanto nobile: A. Papoulis - The Fourier Integral and its Applications secondo me è il massimo. Il Luise - Vitetta non è male, ma non si dilunga più del necessario sulla trasformata di Fourier: se ti interessa questo argomento in particolare il primo libro è perfetto. Se invece vuoi un libro sulla teoria dei segnali va bene il secondo, che contiene tra l'altro svariati esempi.