Spezzata dalla lunghezza minima - SNS 1969

[elios]

"In un piano sono dati una retta \( \displaystyle {r} \) e due punti \( \displaystyle {L} \), \( \displaystyle {M} \) fuori di essa. Inoltre è assegnata una lunghezza \( \displaystyle {a} \). Determinare sulla retta \( \displaystyle {r} \) due punti \( \displaystyle {H} \), \( \displaystyle {K} \) tali che il segmento \( \displaystyle {H}{K} \) abbia lunghezza \( \displaystyle {a} \) e sia minima la lunghezza della spezzata \( \displaystyle {L}{H}{K}{M} \)."

Ho provato a risolverlo trigonometricamente. Chiamando \( \displaystyle {l} \) e \( \displaystyle {m} \) le distanze di \( \displaystyle {L} \) ed \( \displaystyle {M} \) rispettivamente dalla retta \( \displaystyle {r} \), e chiamando \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) l'angolo d'inclinazione rispetto alla verticale che i segmenti \( \displaystyle {L}{H} \) e \( \displaystyle {M}{K} \) formano, ho scritto che la lunghezza della spezzata da minimizzare si riduce a:
\( \displaystyle {L}{H}+{K}{M}=\frac{{l}}{{{\cos{{x}}}}}+\frac{{m}}{{{\cos{{y}}}}} \)
Contemporaneamente devo imporre che, chiamando \( \displaystyle {L}{M} \) la distanza orizzontale (cioé lungo la retta \( \displaystyle {r} \)) fra \( \displaystyle {L} \) e \( \displaystyle {M} \), e chiamando \( \displaystyle {L}' \) e \( \displaystyle {M}' \) le proiezioni di \( \displaystyle {L} \) e \( \displaystyle {M} \) su \( \displaystyle {r} \), risulti:
\( \displaystyle {L}'{H}+{a}+{K}{M}'={L}{M} \)
\( \displaystyle {t}{g{{x}}}\cdot{l}+{t}{g{{y}}}\cdot{m}+{a}={L}{M} \).
Adesso dovrei sfruttare queste due equazioni per lasciare la funzione da minimizzare ad una sola variabile, però avendo i coseni da una parte e le tangenti dall'altra i calcoli si complicano..
Ci sono altre strade che potete consigliarmi di intraprendere? Grazie

[adaBTTLS]

così facendo, tu dai per scontato che HK sia interno ad L'M', ma non è così.
forse si potrebbe partire proprio dal distinguere i tre casi ...
prova a ragionarci su, intanto ci penso anch'io ....

[elios]

Beh, dato che si devono determinare i punti \( \displaystyle {H} \) e \( \displaystyle {K} \) affinché la lunghezza della spezzata sia minima, tali punti dovrebbero effettivamente trovarsi all'interno di L'K'.. Comunque provo a differenziare i casi..

[adaBTTLS]

intendevo dire che \( \displaystyle {\overline{{{L}'{M}'}}} \) può essere maggiore, uguale o minore di \( \displaystyle {a} \).
io ho provato diverse strade.
una mi ha portato ad una soluzione (caso dei punti \( \displaystyle {L}'{H}{K}{M}' \) in quest'ordine, con \( \displaystyle {\overline{{{L}'{M}'}}}={b} \)), \( \displaystyle {\overline{{{L}'{H}}}}=\frac{{{l}{\left({b}-{a}\right)}}}{{{m}+{l}}} \).
la cosa è abbastanza elaborata, ma si potrebbe procedere analogamente per gli altri 3 casi non banali (\( \displaystyle {a}\ne{b} \)).

[elios]

Come lo hai ricavato?
Perché dici che ci sono altri tre casi non banali? Il caso banale è \( \displaystyle {a}={b} \), in cui \( \displaystyle {H} \) e \( \displaystyle {K} \) sono le proiezioni di \( \displaystyle {L} \) e \( \displaystyle {M} \) lungo la retta. Poi ci sono i casi \( \displaystyle {a}\lt{b} \) e \( \displaystyle {a}\gt{b} \), quale altro?

[elios]

Comunque la quantità da minimizzare nei due casi è sempre la stessa..

[elios]

Di logica (e ho cercato di farne una dimostrazione molto molto grezza), \( \displaystyle {H}{K} \) deve avvicinarsi al punto più lontano dalla retta (questo nel caso in cui \( \displaystyle {a}\lt{b} \)). Però non riesco a trasformare questa valutazione qualitativa in una definizione quantitativa..

[adaBTTLS]

hai pensato ad esempio al caso in cui i punti si succedano nell'ordine \( \displaystyle {M}'{H}{K}{L}' \), cioè, nel caso di \( \displaystyle {L},{M} \) nello stesso semipiano individuato da \( \displaystyle {H}{K} \) venga una poligonale intrecciata?

[elios]

beh, non credo che sia corretto come caso. Il problema è come se ci dicesse di calcolare la spezzata dati due punti e determinandone altri due. Credo che, avendo 4 punti, la spezzata sia quella che li collega senza "intrecciarsi", o mi sbaglio?

[adaBTTLS]

sì, se dice di determinarli, hai ragione tu. io mi ero lasciata influenzare dal fatto che parlava di segmento \( \displaystyle {H}{K} \) di lunghezza \( \displaystyle {a} \).
in tal caso il problema è quasi risolto, perché nell'altro caso basta sostituire \( \displaystyle {b}-{a} \) con \( \displaystyle {a}-{b} \) ...