Buonasera a tutti!
Desidererei trovare la spline cubica che approssima alcuni dati in una tabella.
In rete ho trovato http://it.wikipedia.org/wiki/Interpolazione_spline. Tuttavia eseguendo il procedimento descritto relativamente all'intervallo \( \displaystyle {\left[{0};{1}\right]} \), non ottengo la funzione scritta.
Non vorrei avere interpretato in modo errato il sistema riportato nella pagina web di cui sopra: \( \displaystyle {a}_{{k}} \), \( \displaystyle {a}_{{{k}+{1}}} \), e tutte le altre incognite le posso brevemente chiamare \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \) e \( \displaystyle {d} \) eliminando i pedici? Perché altrimenti sembrerebbe che il sistema proposto è costituito da 4 equazioni in 8 incognite.
Cosa c'è che non torna?
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Spline cubica
da Andrea90 » 04/09/2011, 16:19
La scienza della Matematica, nei suoi moderni sviluppi, è la più originale creazione dello spirito umano. [A.N. Whitehead]
\( \displaystyle f(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!})e^{-x} \)
\( \displaystyle f(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!})e^{-x} \)
- Andrea90
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Re: Spline cubica
da vpindarico » 10/09/2011, 20:10
Nella pagina di wikipedia che hai linkato ci sono due esempi che usano criteri diversi.
In ambedue, ovviamente, negli n punti tabulari sono noti i valori della spline; in più, nel primo si impone la continuità delle derivate prima e seconda, mentre nel secondo la derivata prima si considera nota.
Quindi nel primo esempio si hanno:
4(n-1) incognite (i coefficienti della cubica su ogni intervallo);
2(n-1) equazioni per i valori nei punti tabulari (agli estremi di ogni intervallo);
n-2 equazioni per la continuità della derivata prima in ogni punto tabulare interno;
n-2 equazioni per la continuità della derivata seconda in ogni punto tabulare interno.
In totale 4n-4 incognite per 4n-6 equazioni; per le due equazioni mancanti si assume che la derivata seconda sia nulla nel primo e nell'ultimo punto tabulare, e si ottiene un sistemone di 4(n-1) equazioni in altrettante incognite.
Nel secondo esempio, invece:
4(n-1) incognite, come sopra;
2(n-1) equazioni per i valori nei punti tabulari, come sopra;
2(n-1) equazioni per le derivate prime nei punti tabulari, che si considerano note.
e non si impone nessuna condizione sulla derivata seconda, che quindi non risulta necessariamente continua.
Il sistema di 4(n-1) equazioni in 4(n-1) incognite si spezza in n-1 sistemi indipendenti di 4 equazioni in 4 incognite.
I vaolri numerici dell'esempio secondo me sono sbagliatI.
Ciao
In ambedue, ovviamente, negli n punti tabulari sono noti i valori della spline; in più, nel primo si impone la continuità delle derivate prima e seconda, mentre nel secondo la derivata prima si considera nota.
Quindi nel primo esempio si hanno:
4(n-1) incognite (i coefficienti della cubica su ogni intervallo);
2(n-1) equazioni per i valori nei punti tabulari (agli estremi di ogni intervallo);
n-2 equazioni per la continuità della derivata prima in ogni punto tabulare interno;
n-2 equazioni per la continuità della derivata seconda in ogni punto tabulare interno.
In totale 4n-4 incognite per 4n-6 equazioni; per le due equazioni mancanti si assume che la derivata seconda sia nulla nel primo e nell'ultimo punto tabulare, e si ottiene un sistemone di 4(n-1) equazioni in altrettante incognite.
Nel secondo esempio, invece:
4(n-1) incognite, come sopra;
2(n-1) equazioni per i valori nei punti tabulari, come sopra;
2(n-1) equazioni per le derivate prime nei punti tabulari, che si considerano note.
e non si impone nessuna condizione sulla derivata seconda, che quindi non risulta necessariamente continua.
Il sistema di 4(n-1) equazioni in 4(n-1) incognite si spezza in n-1 sistemi indipendenti di 4 equazioni in 4 incognite.
I vaolri numerici dell'esempio secondo me sono sbagliatI.
Ciao
- vpindarico
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