stabilire gli ideali di un anello quoziente...

[trefe.ra4]

Mi è stato proposto questo esercizio in un esame di algebra 1:

Posto \( \displaystyle {f{=}}{{x}}^{{4}}+{6}{{x}}^{{2}}+{28}\in\mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \), sia \( \displaystyle {g{\in}}{\left(\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\right)}{\left[{x}\right]} \)
la riduzione di f modulo 7. Sia
A=\( \displaystyle \frac{{{\left(\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\right)}{\left[{x}\right]}}}{{{\left({g}\right)}}} \):
(a) Si dica se A è un dominio d'integrità.
(b) Si determinino tutti gli ideali di A.



Il punto (a) io ho provato a risolverlo così:
Ho pensato che \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z} \) è un campo perchè 7 è un primo quindi di conseguenza è un dominio di integrità, a questo punto anche \( \displaystyle \frac{{{\left(\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\right)}{\left[{x}\right]}}}{{{\left({g}\right)}}} \) è dominio di integrità...
Però mi sembra troppo semplice e comunque non riesco a risolvere il punto b, mi potreste dare una manoper favore, grazie mille in anticipo ciao a tutti

[j18eos]

Sì: \( \displaystyle \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_7 \) è un campo, in particolare un dominio d'integrità unitario e quindi lo è anche \( \displaystyle \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_7[x] \) ; in particolare esso è un anello commutativo per cui: gli unici suoi anelli quoziente che siano domini d'integrità sono quelli determinati dai suoi ideali primi.

Devi dimostrare che \( \displaystyle (g) \) sia un ideale primo!

[trefe.ra4]

Ma g è un polinomio riducibile in \( \displaystyle {\left(\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\right)}{\left[{x}\right]} \) quindi non può essere primo di conseguenza nemmeno l'ideale da esso generato può essere primo giusto?

[j18eos]

Sì, in quanto \( \displaystyle \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_7[x]=\mathbb{Z}_7[x] \) è un anello principale!

[trefe.ra4]

ok, grazie mille!!
Il primo punto adesso mi è chiaro ma il punto (b), k era quello che mi metteva più in difficoltà come può essere svolto? Mi sai dare una mano per favore...?
Grazie mille lo stesso!!!

[j18eos]

a) Prego di nulla!

b) Devi determinare gli ideali di \( \displaystyle \mathbb{Z}_7[x] \) che contengono \( \displaystyle (g) \) e quozientarli rispetto a \( \displaystyle (g) \) .

[trefe.ra4]

si, il problema è k non capisco, dato un anello come stabilire i suoi ideali, nonostante conosca alla perfezione la definizione di ideale di un anello ( presi 2 elementi \( \displaystyle \in{I} \) ideale di A anello, la loro differenza deve appartenere ancora ad I, e per ogni n \( \displaystyle \in{I} \) e x \( \displaystyle \in{A} \) allora \( \displaystyle {n}\cdot{x}\in{I} \) però questo lo posso verificare avendo dato l'ideale ma determinare gli ideali di un anello dato così dal nulla non ne sono capace, e nemmeno nelle dispense ho trovato un modo per farlo ti prego puoi aiutarmi per favore...

[j18eos]

Non c'è bisogno di pregarmi.

Un ideale di \( \displaystyle \mathbb{Z}_7[x] \) che contenga \( \displaystyle (g) \) vuol dire anzitutto che contiene \( \displaystyle g \) quindi; ricordando ancora che \( \displaystyle \mathbb{Z}_7[x] \) è un anello principale, basta considerare gl'ideali generati dai polinomi \( \displaystyle h \) tali che \( \displaystyle g \) sia un divisore di \( \displaystyle h \) . Ovviamente ci sono un'infinità di tali polinomi per cui più di annotarlo non puoi fare nulla più!

[trefe.ra4]

ok, grazie mille...scusa ma avevo assolutamente bisogno della tua risposta....tra poco ho l'esame....:@:@:@
adesso ho capito come risolvere questo esercizio, praticamente se ho capito bene visto che è un anello quoziente, quozientato con (g) tutti gli ideali di esso sono i polinomi \( \displaystyle \in\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z} \) che possono essere divisi dal polinomio g....però a questo punto mi chiedevo se ci fosse un metodo generale per determinare gli ideali di un anello dato (al di fuori di questo esercizio).
ciao e grazie ancora!!!:):)

[j18eos]

Prego, di nulla!

Per quanto riguarda un metodo generale non lo conosco; utilizzando la teoria a seconda delle ipotesi puoi trovare il metodo ad hoc.

Buon esame!