Staffetta matematica (ex-Maratona)

[andrew.cgs]

Salve a tutti.
Anche se non sapevo risolverne uno ( ) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?

Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di postare al proprio posto. Chi vuole cominciare?

P.S.: si ringraziano ovviamente per l'idea TomSawyer e gli utenti che hanno partecipato alla vecchia maratona!

Salve e buon problema a tutti!

andrew.cgs

[ficus2002]

Siano \( \displaystyle {n},{m}\in\mathbb{N} \). Se \( \displaystyle {24}{\mid}{m}{n}+{1} \), allora \( \displaystyle {24}{\mid}{m}+{n} \).

[Bruno]

Simpatico


Quando mn+1 è divisibile per 3?

Riferendo m e n ai multipli di 6 (tenuto
conto che, necessariamente, sono
entrambi dispari e primi con 3), poiché:

(6a±1)(6b±1) = 6c+1 ,

bisognerà che il prodotto mn sia del tipo

(6a+1)(6b-1) oppure (6a-1)(6b+1).

Quindi possiamo senz'altro considerare:

mn+1 = (6h-1)(6j+1)+1 = 6·(6hj+h-j)

e

m+n = 6·(h+j).

Quando un numero del tipo 6hj+h-j è
divisibile per 4?

Sicuramente è pari solo se possiamo porre
h = r+s e j = r-s (per certi r ed s),
cioè:

6hj+h-j = 2·[3·r²-s(3s-1)]

ma risulta divisibile per 4 solo se r = 2t:

6hj+h-j = 4·[3·t²-½·s(3s-1)].

Perciò abbiamo: h = 2t+s, j = 2t-s.

Dunque, se:

mn+1 = 6·(6hj+h-j) = 24·[3·t²-½·s(3s-1)]

allora:

m+n = 6·(h+j) = 24·t.

(Salvo sviste.)


Ciao a tutti!

[Albe]

altra soluzione usando le congruenze. (ovviamente il diritto di postare il prossimo problema spetta a Bruno)

\( \displaystyle {m}{n}+{1}\equiv_{{3}}{0}\leftrightarrow{m}{n}\equiv_{{3}}{2} \) La sola possibilità è che sia (a meno di simmetriche) \( \displaystyle {m}\equiv_{{3}}{2} \) e \( \displaystyle {n}\equiv_{{3}}{1} \). Allora è chiaro che \( \displaystyle {3}{\mid}{m}+{n} \). Andiamo avanti: \( \displaystyle {m}{n}+{1}\equiv_{{8}}{0}\leftrightarrow{m}{n}\equiv_{{8}}{7} \). Le possibilità per \( \displaystyle {m} \) e \( \displaystyle {n} \) sono: \( \displaystyle {m}\equiv_{{8}}{1} \) e \( \displaystyle {n}\equiv_{{8}}{7} \) oppure \( \displaystyle {m}\equiv_{{8}}{3} \) e \( \displaystyle {n}\equiv_{{8}}{5} \) (e simmetriche). Allora è chiaro che \( \displaystyle {8}{\mid}{m}+{n} \). Dunque \( \displaystyle {24}{\mid}{m}+{n} \)

[andrew.cgs]

OK, il turno passa a Bruno.

@ Bruno
Posti un problema oppure vuoi incaricare qualcuno al tuo posto?

[Bruno]

Passo la palla, Andrew, adesso sono piuttosto
impegnato per cercare un quiz da proporre.

Ciao

[andrew.cgs]

Ok.
Albe, vuoi proporre tu un quesito, visto che hai dato anche tu una risposta?

[Albe]

Qua si passa la patata bollente...
Vada per questo. (Qualcuno potrebbe averlo già visto)

Dimostrare che se \( \displaystyle {x},{y},{z} \) sono reali maggiori o uguali di uno tali che
\( \displaystyle \frac{{1}}{{x}}+\frac{{1}}{{y}}+\frac{{1}}{{z}}={2} \)
allora vale la seguente disuguaglianza:
\( \displaystyle \sqrt{{{x}+{y}+{z}}}\geq\sqrt{{{x}-{1}}}+\sqrt{{{y}-{1}}}+\sqrt{{{z}-{1}}} \)

Buon lavoro

[Steven]

Ho un imbarazzante inconveniente.
Il risultato a cui giungo alla fine mi nega la tesi, non la convalida, anche se sicuramente è vera (ho fatto delle prove).
Posto il ragionamento, sperando che qualcuno mi corregga.

\( \displaystyle \sqrt{{{x}+{y}+{z}}}\geq\sqrt{{{x}-{1}}}+\sqrt{{{y}-{1}}}+\sqrt{{{z}-{1}}} \)
L'uguaglianza si ha per \( \displaystyle {x}={y}={z}=\frac{{3}}{{2}} \)

Considero la diseguaglianza da verificare e la quadro. Ottengo
\( \displaystyle {x}+{y}+{z}\ge{\left({x}-{1}\right)}+{\left({y}-{1}\right)}+{\left({z}-{1}\right)}+{2}\sqrt{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({y}-{1}\right)}}}+{2}\sqrt{{{\left({y}-{1}\right)}{\left({z}-{1}\right)}}}+{2}\sqrt{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({z}-{1}\right)}}} \)
ovvero, più semplicemente
\( \displaystyle \sqrt{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({y}-{1}\right)}}}+\sqrt{{{\left({y}-{1}\right)}{\left({z}-{1}\right)}}}+\sqrt{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({z}-{1}\right)}}}\le\frac{{3}}{{2}} \)
ma d'altra parte, per AM-GM (applicata a x-1 e y-1, poi y-1 e z-1 infine x-1 e z-1)
\( \displaystyle \frac{{{x}+{y}-{2}}}{{2}}+\frac{{{x}+{z}-{2}}}{{2}}+\frac{{{y}+{z}-{2}}}{{2}}\ge\sqrt{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({y}-{1}\right)}}}+\sqrt{{{\left({y}-{1}\right)}{\left({z}-{1}\right)}}}+\sqrt{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({z}-{1}\right)}}} \)
Quindi, se risultasse AM<3/2, avrei anche GM<3/2, ovvero la tesi
\( \displaystyle \frac{{{x}+{y}-{2}}}{{2}}+\frac{{{x}+{z}-{2}}}{{2}}+\frac{{{y}+{z}-{2}}}{{2}}\lt\frac{{3}}{{2}} \) ovvero
\( \displaystyle {x}+{y}+{z}\le\frac{{9}}{{2}} \)
Praticamente se questa è vera, ho la tesi. Vedo che l'uguaglianza continua ad esserci per \( \displaystyle {x}={y}={z}=\frac{{3}}{{2}} \)

Si ha
\( \displaystyle {\frac{{{x}+{y}+{z}}}{{{3}}}}\ge{\frac{{{3}}}{{\frac{{1}}{{x}}+\frac{{1}}{{y}}+\frac{{1}}{{z}}}}}=\frac{{3}}{{2}} \) HM-AM
da cui
\( \displaystyle {x}+{y}+{z}\ge\frac{{9}}{{2}} \)
ovvero l'esatto opposto di quello che dovevo mostrare!
Grazie a chi voglia dirmi l'errore che c'è dietro

[Albe]

l'errore sta nel fatto che non è detto che \( \displaystyle {A}{M}\lt\frac{{3}}{{2}} \).
E' vero che se è \( \displaystyle {A}{M}\lt\frac{{3}}{{2}} \) hai la disuguglianza, ma non è detto che se vale la disuguaglianza \( \displaystyle {A}{M}\lt\frac{{3}}{{2}} \)