Stima errore di interpolazione

[jnewjnew]

Salve,
non riesco a capire come si calcola il prodotto \( \displaystyle {\left({x}-{x}{o}\right)}{\left({x}-{x}{1}\right)}\ldots{\left({x}-{x}{n}\right)} \) quando si vuole stimare l'errore massimo di interpolazione polinomiale. Mi fate vedere un esempio per favore. Ad esempio all'interno dell'intervallo \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) nei punti 0,1/2 e 1.
Grazie 1000... saluti

[maurer]

Facendo riferimento a quanto facevo io nel corso: non calcoli il prodotto da te indicato, ma ne prendi la norma infinito nell'intervallo in questione...
E infatti, i nodi migliori sono quelli di Chebychev, perché minimizzano la quantità in questione...

[jnewjnew]

C'è qualcosa che non mi convince perchè la norma infinito è 1 e l'esercizio non è corretto. Presento meglio il problema:
Devo interpolare la funzione \( \displaystyle {{e}}^{{{x}}} \) nei punti \( \displaystyle {\left\lbrace{0},\frac{{1}}{{2}},{1}\right\rbrace} \) . Poi l'esercizio dice: Dare una maggiorazione dell’errore che si commette nel sostituire, nell’intervallo \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) alla funzione data il polinomio interpolante. Il risultato è \( \displaystyle {1}\//{6}\cdot{{e}}^{{}}\cdot\sqrt{{{3}}}\//{36} \). Allora, tenedo conto della formula di stima dell'errore, \( \displaystyle {1}\//{6} \) è l'inverso del fattoriale di \( \displaystyle {\left({n}+{1}\right)} \) e \( \displaystyle {{e}}^{{}} \) è la derivata \( \displaystyle {n}+{1} \)esima della \( \displaystyle {{e}}^{{{x}}} \) valutata nel punto 1. Ma \( \displaystyle \sqrt{{{3}}}\//{36} \) da dove viene fuori?
Grazie a tutti salve

[jnewjnew]

Forse ci sono... chiedo conferma....
Devo calcolare i Nodi di Čebyšëv che dipendono dai limiti dell'intervallo e dal grado del polinomio....
Ciao grazie

[dissonance]

Molto più semplicemente: la formula dell'errore è

\( \displaystyle {E}{\left({x}\right)}={\left|{\frac{{{{e}}^{\xi}}}{{{3}!}}}{x}{\left({x}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({x}-{1}\right)}\right|} \), dove \( \displaystyle {x}\in{\left[{0},{1}\right]} \);

puoi fornire la stima \( \displaystyle {E}{\left({x}\right)}\le{\frac{{{e}}}{{{3}!}}}\text{max}_{{\matrix{{0}&{1}}}}{\left|{x}{\left({x}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({x}-{1}\right)}\right|} \)

si tratta ora di calcolare \( \displaystyle \text{max}_{{\matrix{{0}&{1}}}}{\left|{x}{\left({x}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({x}-{1}\right)}\right|} \), che è un tipico esercizio di Analisi 1 (ed è quello che diceva maurer).

[maurer]

Esattamente...

[jnewjnew]

OK, allora vediamo se ho capito. L'errore stimato con i punti dati sono riuscito a calcolarlo. Se invece delle ascisse date \( \displaystyle {0},\frac{{1}}{{2}},{1} \) avessi utilizzato i nodi di Chebychev avrei ottenuto un errore massimo ancora più piccolo?

[maurer]

Sì, è proprio così... Si dimostra che i nodi di Chebychev minimizzano l'errore massimo: ogni altra scelta di nodi comporta un errore massimo maggiore; d'altra parte è risaputo che aumentando il numero di nodi all'interno dell'intervallo di interpolazione, il polinomio interpolante in generale tende a "oscillare" e non è più un buon approssimante della funzione. In particolare, se scegli i nodi equispaziati, la crescita dell'errore è, a dir poco, catastrofica!

[jnewjnew]

Vi ringrazio molto siete stati molto chiari ed esaustivi. Adesso sono alle prese con le spline... aprirò un altro topic se necessario... grazie ancora...

[dissonance]

Sì, è proprio così... Si dimostra che i nodi di Chebychev minimizzano l'errore massimo:

Beh per la massima precisione non è proprio così. Fissiamo un intervallo \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \) e chiamiamo \( \displaystyle \Pi_{{n}}{\left({x}\right)}={\left({x}-{x}_{{0}}\right)}{\left({x}-{x}_{{1}}\right)}\ldots{\left({x}-{x}_{{n}}\right)} \), dove \( \displaystyle {x}_{{0}}\ldots{x}_{{n}}\in{\left[{a},{b}\right]} \) sono nodi fissati. Si dimostra che la scelta dei nodi di Chebyshev minimizza \( \displaystyle \text{max}_{{\matrix{{a}&{b}}}}{\left|\Pi_{{n}}{\left({x}\right)}\right|} \), nel senso che detti \( \displaystyle {x}_{{0}}..{x}_{{n}} \) i nodi di Chebyshev in \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \) e \( \displaystyle {y}_{{0}}\ldots{y}_{{n}} \) un qualsiasi insieme di nodi sempre in \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \) si ha

\( \displaystyle \text{max}_{{{x}\in{\left[{a},{b}\right]}}}{\left|\Pi_{{n}}{\left({x}\right)}\right|}\le\text{max}_{{{y}\in{\left[{a},{b}\right]}}}{\left|{\left({y}-{y}_{{0}}\right)}\ldots{\left({y}-{y}_{{n}}\right)}\right|} \).

Ora ricordiamo la formula dell'errore, nell'ipotesi che la funzione da approssimare sia sufficientemente regolare:

\( \displaystyle {E}{\left({x}\right)}={\left|{\frac{{{{f}}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}{\left(\xi\right)}}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}}\Pi_{{n}}{\left({x}\right)}\right|} \) per una \( \displaystyle \xi\in{\left[{a},{b}\right]} \).

In particolare l'errore proviene dal prodotto di due fattori: su uno, \( \displaystyle {\left|{\frac{{{{f}}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}{\left(\xi\right)}}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}}\right|} \), non si può intervenire (sostanzialmente perché quella \( \displaystyle \xi \) non è nota a priori); l'altro invece si può maggiorare con \( \displaystyle \text{max}_{{{x}\in{\left[{a},{b}\right]}}}{\left|\Pi_{{n}}{\left({x}\right)}\right|} \).

Di conseguenza l'unica maniera per intervenire sull'errore indipendentemente dalla \( \displaystyle {f} \) è rendere piccolo quest'ultimo bound, cosa che si può fare scegliendo nodi di Chebyshev: ma questo non significa esattamente dire che scegliere nodi di Chebyshev minimizza l'errore.

Mi pare, ma in questo momento purtroppo non ricordo con certezza, che esistano addirittura delle funzioni (non di classe \( \displaystyle {{C}}^{{1}} \)) per cui la successione dei polinomi di interpolazione nei nodi di Chebyshev non converge mentre converge la successione relativa a nodi equidistanti.