strana equazione

[AxisAllies]

Qualcuno sa risolvere il seguente problema?
Siano m,n due numeri naturali non nulli. Provare che l'equazione \( \displaystyle \frac{m}{n}+\frac{n+1}{m}=4 \) non ha soluzioni intere positive.

[Gaussman]

dobbiamo risolvere negli interi positivi \( \displaystyle {{m}}^{{2}}-{4}{m}{n}+{{n}}^{{2}}+{n}={0} \). Quindi il delta calcolato rispetto ad m deve essere un quadrato perfetto poichè m è naturale: \( \displaystyle {3}{{n}}^{{2}}-{n}={{k}}^{{2}} \) con k intero.
\( \displaystyle {3}{{n}}^{{2}}-{n}={n}{\left({3}{n}-{1}\right)} \), e dato che n e 3n-1 sono coprimi tra loro ed entrambi maggiori di zero l'unica possibilità è che siano entrambi dei quadrati, quindi \( \displaystyle {n}={{a}}^{{2}} \) e \( \displaystyle {3}{n}-{1}={{b}}^{{2}} \).
Dalle precedenti 2 equazioni ricaviamo \( \displaystyle {3}{{a}}^{{2}}-{1}={{b}}^{{2}} \), e quest'ultima equazione è assurda modulo 4 perchè il lato sinistro è sempre congruo a 2 o 3 mentre il lato destro è sempre congruo a 0 o 1.
Segue che l'equazione iniziale non ha soluzione.

[AxisAllies]

Grazie mille!