Strutture algebriche in natura

[dissonance]

Ho passato una decina di minuti a fare esperimenti con un elastico come filo e delle penne appoggiate al bordo del tavolo come chiodi. Effettivamente, con le configurazioni provenienti da un commutatore, togliendo una penna l'elastico cade a terra. Che spasso!

Non oso immaginare cosa avrà pensato chi mi ha visto, però!

[Martino]

Ho passato una decina di minuti a fare esperimenti con un elastico come filo e delle penne appoggiate al bordo del tavolo come chiodi. Effettivamente, con le configurazioni provenienti da un commutatore, togliendo una penna l'elastico cade a terra. Che spasso!

Ora che mi ci fai pensare non ho mai provato a fare l'esperimento

Non oso immaginare cosa avrà pensato chi mi ha visto, però!

A priori qualsiasi cosa concepibile, come davanti ad ogni evento accadibile

[maurer]

Riesumo questo post perché ritengo di avere qualcosa da dire che non è stato detto.

La domanda che ci si può porre è: determinare esplicitamente la famiglia di tutti gli avvolgimenti possibili con questa proprietà di "pessimizzare l'appesa" (facendo riferimento ad un titolo recente di discreto successo).

Per semplicità spiegherò il caso dei due chiodi, ma capirete subito che la generalizzazione a \( \displaystyle n \) nodi è immediata e naturale. Siano \( \displaystyle P,Q \in \mathbb R^2 \) due punti; sia \( \displaystyle X_1 = \mathbb R^2 \setminus \{P\} \) , \( \displaystyle X_2 = \mathbb R^2 \setminus \{Q\} \) e \( \displaystyle X = \mathbb R^2 \setminus \{P,Q\} \) . Abbiamo due inclusioni naturali, \( \displaystyle X \subset X_1 \) e \( \displaystyle X \subset X_2 \) . Sia \( \displaystyle x_0 \in X \) un punto qualsiasi (per semplicità vi consiglio di prendere il punto medio del segmento PQ); allora la funtorialità di \( \displaystyle \pi_1(-) \) produce due mappe \( \displaystyle f_1 \colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(X_1,x_0) \) , \( \displaystyle f_2 \colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(X_2,x_0) \) . Ora, dovrebbe essere ben noto che \( \displaystyle \pi_1(X,x_0) = \mathbb Z * \mathbb Z \) , il gruppo libero su due generatori, che chiamerò \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) . Si osservi che \( \displaystyle a \) può essere fatto corrispondere ad un giro in senso orario intorno a \( \displaystyle P \) e \( \displaystyle b \) ad un giro in senso orario intorno a \( \displaystyle Q \) .

Allora è chiaro che la famiglia degli avvolgimenti con la proprietà di pessimizzare l'appesa è proprio \( \displaystyle \ker(f_1) \cap \ker(f_2) \) . In particolare, si ritrova che il commutatore va bene: infatti, \( \displaystyle f_1(b) = 0 \) e \( \displaystyle f_2(a) = 0 \) , quindi \( \displaystyle f_1([a,b]) = f_2([a,b]) = 0 \) , ossia \( \displaystyle [a,b] \in \ker(f_1) \cap \ker(f_2) \) . Osservo infine che l'inclusione \( \displaystyle \langle [a,b] \rangle \subset \ker(f_1) \cap \ker(f_2) \) è stretta: \( \displaystyle [a^n,b^n] \in \ker(f_1) \cap \ker(f_2) \) , ma non è una potenza di \( \displaystyle aba^{-1}b^{-1} \) .