Studio del segno

Messaggioda JadenYuki » 16/06/2009, 23:55

Non ho capito come funziona lo studio del segno di un prodotto (disequazioni lineari) qualcuno potrebbe farmi capire...
Esempio:
$(x-3)(2x+5)>0$
Grazie...
JadenYuki
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Messaggioda GPaolo » 17/06/2009, 06:36

Per $x\ =\ 3$ e $x\ =\ -5/2$ il prodotto si annulla. Per $-5/2\ <\ x\ <\ 3$ il valore è minore di zero. Per $-5/2\ >\ x\ >\ 3$ il valore è sempre maggiore di zero, perciò la disequazione è soddisfatta solo per $-5/2\ >\ x\ >\ 3$.
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Messaggioda Cozza Taddeo » 17/06/2009, 08:31

@JadenYuki
L'idea di fondo è che quando si ha il prodotto di piú fattori per studiare il segno complessivo è sufficiente studiare il segno di ogni fattore e poi combinarli con la regola dei segni.

Nel tuo caso si pone ciascun fattore maggiore di 0

$x-3>0$ da cui $x>3$
$2x+5>0$ da cui $x> -5/2$

e applicando la regola dei segni si trova la soluzione $x<-5/2$ o $x>3$

@GPaolo
Ricontrolla il segno delle disuguaglianze perché la seconda parte della spiegazione è sbagliata ($-5/2>x>3$ non indica nessun numero reale!) :?

Una nota.
Ho visto che hai molta buona volontà nell'aiutare gli utenti del forum, però ho osservato che spesso tendi a riportare la soluzione completa di un esercizio e non a spingere l'utente in difficoltà a ragionare e ad arrivarci da solo. Questo non è propriamente nello spirito del forum per questo vorrei incoraggiarti ad osservare come danno aiuto i moderatori e ad ispirarti a loro per i tuoi prossimi interventi. :wink:
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Messaggioda GPaolo » 17/06/2009, 09:12

Una nota.
Ho visto che hai molta buona volontà nell'aiutare gli utenti del forum, però ho osservato che spesso tendi a riportare la soluzione completa di un esercizio e non a spingere l'utente in difficoltà a ragionare e ad arrivarci da solo. Questo non è propriamente nello spirito del forum per questo vorrei incoraggiarti ad osservare come danno aiuto i moderatori e ad ispirarti a loro per i tuoi prossimi interventi.


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Messaggioda Steven » 17/06/2009, 09:44

[mod="Steven"]Titolo modificato perché troppo generico (era "quesito").

Sottoscrivo la considerazione di Cozza Taddeo sull'utente GPaolo.[/mod]
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Re: Studio del segno

Messaggioda adaBTTLS » 17/06/2009, 11:53

GPaolo ha scritto:Per $x\ =\ 3$ e $x\ =\ -5/2$ il prodotto si annulla. Per $-5/2\ <\ x\ <\ 3$ il valore è minore di zero. Per $-5/2\ >\ x\ >\ 3$ il valore è sempre maggiore di zero, perciò la disequazione è soddisfatta solo per $-5/2\ >\ x\ >\ 3$.

scusate, ma il mio ruolo di insegnante di scuola superiore mi impone di intervenire:
la scrittura $-5/2\ >\ x\ >\ 3$ non è corretta, o almeno significa "impossibile", perché indica che x deve essere, contemporaneamente, minore di -5/2 e maggiore di 3. nessun numero gode di questa proprietà.
invece la soluzione, a parole, è l'insieme degli x tali che x è minore di -5/2 oppure maggiore di 3. dunque non è $(-oo, -5/2)nn(3,+oo)=phi$ ma $(-oo, -5/2)uu(3,+oo)$.
dunque in simboli (con le disuguaglianze) dobbiamo scrivere: $x<-5/2 vv x>3$

aggiungo qui che la richiesta dell'autore del topic mi pare che vada nella direzione delle disequazioni di primo grado e della regola del prodotto, piuttosto che ad una giustificazione algebrica del metodo di risoluzione delle disequazioni di secondo grado.
propongo quindi una soluzione alternativa:

JadenYuki ha scritto:Non ho capito come funziona lo studio del segno di un prodotto (disequazioni lineari) qualcuno potrebbe farmi capire...
Esempio:
$(x-3)(2x+5)>0$
Grazie...


bisogna fare lo studio del segno dei singoli fattori, quindi risolviamo separatamente
$x-3>0 -> x>3$
$2x+5>0 -> 2x> -5 -> x> -5/2$
N.B. avremmo scritto ">" anche se nel testo ci fosse stato scritto "<", avremmo scritto "$>=$" se nel testo ci fosse stato scritto "$>=$" 0 "$<=$", perché abbiamo una convenzione di rappresentare con linea continua i fattori positivi e con linea discontinua i fattori negativi, per non aver problemi nel fare il prodotto dei segni.
rappresentiamo dunque il risultato delle due disequazioni, dividendo l'insieme dei numeri reali in tre parti: da -oo a -5/2, da -5/2 a 3 e da 3 a +oo.

--------------------------3____________ 1° fattore

------- -5/2 ______________________ 2° fattore

.. "+" ... 0 ...... "-" .... 0 ....... "+" ....... segno del prodotto

a questo punto osservi che nel testo c'è ">0", dunque devi prendere gli intervalli dove il segno è "+":

$S: x< -5/2 vv x>3$ oppure $x in (-oo, -5/2)uu(3,+oo)$

spero sia chiaro. ciao.

EDIT: mi sono accorta che le stesse osservazioni, in maniera più sintetica, erano state fatte anche da Cozza Taddeo, prima di me...
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Messaggioda JadenYuki » 18/06/2009, 19:17

Cozza Taddeo ha scritto:@JadenYuki
L'idea di fondo è che quando si ha il prodotto di piú fattori per studiare il segno complessivo è sufficiente studiare il segno di ogni fattore e poi combinarli con la regola dei segni.

Nel tuo caso si pone ciascun fattore maggiore di 0

$x-3>0$ da cui $x>3$
$2x+5>0$ da cui $x> -5/2$

e applicando la regola dei segni si trova la soluzione $x<-5/2$ o $x>3$

@GPaolo
Ricontrolla il segno delle disuguaglianze perché la seconda parte della spiegazione è sbagliata ($-5/2>x>3$ non indica nessun numero reale!) :?

Una nota.
Ho visto che hai molta buona volontà nell'aiutare gli utenti del forum, però ho osservato che spesso tendi a riportare la soluzione completa di un esercizio e non a spingere l'utente in difficoltà a ragionare e ad arrivarci da solo. Questo non è propriamente nello spirito del forum per questo vorrei incoraggiarti ad osservare come danno aiuto i moderatori e ad ispirarti a loro per i tuoi prossimi interventi. :wink:

Grazie sia a te che ad adaBTTLS (non riporto entrambi i messaggi).
E scusate se vi disturbo di nuovo ma ad esempio:
$(x+3)(6-x)<=0$
$x+3>0 -> x> -3$
$6-x>0 -> -x> -6 -> x<6$
quindi la soluzione sarebbe: $x<= -3 V x>=6$ giusto?
@Steven
ok la prossima volta sarò più preciso...
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Messaggioda adaBTTLS » 18/06/2009, 19:35

prego.
sì, il risultato è giusto. anche l'impostazione, anche se io avrei lasciato le disuguaglianze in senso lato nei "parziali"...
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Messaggioda JadenYuki » 18/06/2009, 20:34

Grazie tante a tutti...
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