successione ricorsiva con funzione integrale

[TommyR22]

ciao a tutti.Ho un problema nello studio di una successione definita per ricorrenza,più che altro non riesco bene a risolverle quando il termine \( \displaystyle {a}_{{{n}+{1}}} \) è una funzione integrale.
Normalmente in una successione studio i \( \displaystyle {p}{u}{n}{t}{i}{f{{i}}}{s}{s}{i} \) e la \( \displaystyle {p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{i}{t}à \) della funzione \( \displaystyle \phi{\left({t}\right)}={f{{\left({t}\right)}}}-{t} \)
Per quanto riguarda questa successione:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{a}_{{1}}=\frac{{1}}{{2}}\\{a}_{{{n}+{1}}}={\int_{{{0}}}^{{{{a}_{{n}}^{{2}}}}}}\sqrt{{{\cos{{t}}}}}{\left.{d}{t}\right.}}\right.} \)
la soluzione procede in questo modo,ovvero si calcola la \( \displaystyle \phi{\left({x}\right)} \):
\( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}={f{{\left({x}\right)}}}-{x}={\int_{{{0}}}^{{{{x}}^{{2}}}}}\sqrt{{{\cos{{t}}}}}{\left.{d}{t}\right.}-{x}={\int_{{{0}}}^{{{{x}}^{{2}}}}}{\left(\sqrt{{{\cos{{t}}}}}\right)}-\frac{{1}}{{{2}\sqrt{{{x}}}}}{\left.{d}{t}\right.}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{q}{u}ì{p}{r}{i}{m}{o}{q}{u}{e}{s}{i}\to..{d}{a}{d}{o}{v}{e}{e}{s}{c}{e} \)-1/(2sqrt(x)\( \displaystyle ?\lt{i}{m}{g{{s}}}{r}{c}=\text{http://www.matematicamente.it/forum/images/smilies/icon_exclaim.gif}{a}\leq\text{:!:}{t}{i}{t}\le=\frac{\text{Exclamation}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\succ{e}{s}{s}{i}{v}{a}{m}{e}{n}{t}{e}{p}{o}{i}{n}{o}{n}{h}{o}\cap{i}\to{b}{e}\ne{c}{o}{m}{e}{p}{r}{o}{s}{e}{g{{u}}}{e}.{C}{i}{o}è{d}{i}{c}{e}{c}{h}{e} \)\phi(0)=0\( \displaystyle {\left({p}{o}{i}{c}{h}è{l}'\int{e}{g{{r}}}{a}\le{s}{a}{r}{e}{\mathbf{{e}}}\nu{l}{l}{o}\right)}{e}{f{\in}}{q}{u}ì{o}{k},{m}{a}\in{q}{u}{e}{s}\to\text{mod}{o}è \)l'unico\( \displaystyle {p}{u}{n}\to{f{{i}}}{s}{s}{o}??\succ{e}{s}{s}{i}{v}{a}{m}{e}{n}{t}{e}{s}{t}{u}{d}{i}{a}{l}{a}{d}{e}{r}{i}{v}{a}{t}{a}{p}{r}{i}{m}{a}\in{q}{u}{e}{s}\to\text{mod}{o}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)\phi^i(x)=2x(sqrt(cosx^2)-1/(2|x|)) , x!=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}{a}{q}{u}ì{l}{u}{i}{c}{o}{n}{o}{s}{c}{e}{l}'{\quad\text{and}\quad}{a}{m}{e}{n}\to\partial{l}{a}{f{{u}}}{n}{z}{i}{o}\ne{p}{r}{i}{m}{a}{e}{d}{o}{p}{o}{l}{o}{z}{e}{r}{o},{c}{i}{o}è{c}{r}{e}{s}{c}{e}{p}{r}{i}{m}{a}\partial{l}{o}{z}{e}{r}{o},{d}{e}{c}{r}{e}{s}{c}{e}{d}{o}{p}\odot\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\in{f{\in}}{e}{n}{o}{n}{h}{o}\cap{i}\to{p}{e}{r}{c}{h}è{s}{t}{u}{d}{i}{a} \)\f^i(x)=2xsqrt(cosx^2)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{c}{a}{l}{c}{o}{l}{\quad\text{and}\quad}{o}{s}{i} \)\f(1/2) <=1/4\( \displaystyle {n}{o}{n}{p}{o}{t}{e}{v}{a},{g{{i}}}à{f{\in}}{i}{t}{a}{l}{a}{d}{e}{r}{i}{v}{a}{t}{a}{p}{r}{i}{m}{a},{d}{i}{r}{e}{p}{e}{r} \)a_1=1/2$ che il limite tendeva a 0?

grazie (ditemi se sbaglio il ragionamento )

[TommyR22]

nessuno sa dirmi niente?
per il primo dubbio il professore mi ha detto di leggerlo al contrario facendo la derivata...ho capito che \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}\sqrt{{{x}}} \) è la derivata di \( \displaystyle \sqrt{{{x}}} \) ma lì cè \( \displaystyle {x} \)

[TommyR22]

up

[Rigel]

Hai che \( \displaystyle {0}\le{f{{\left({x}\right)}}}\le{{x}}^{{2}} \) per ogni \( \displaystyle {x}\in{\left[{0},\frac{\pi}{{2}}\right]} \).
Poiché \( \displaystyle {0}\lt{a}_{{1}}={\frac{{{1}}}{{{2}}}}\lt{1} \), puoi facilmente dimostrare per ricorrenza che \( \displaystyle {a}_{{{n}+{1}}}={f{{\left({a}_{{n}}\right)}}}\in{\left({0},{1}\right)} \) per ogni \( \displaystyle {n} \).
Inoltre, sempre per il fatto che \( \displaystyle {0}\le{f{{\left({x}\right)}}}\le{{x}}^{{2}} \) per ogni \( \displaystyle {x}\in{\left[{0},{1}\right]} \), dimostri anche che \( \displaystyle {\left({a}_{{n}}\right)} \) è una successione monotona decrescente; essendo limitata sarà dunque anche convergente; detto \( \displaystyle {L} \) il suo limite, si avrà \( \displaystyle {L}\in{\left[{0},\frac{{1}}{{2}}\right]} \) e inoltre \( \displaystyle {L} \) è un punto fisso di \( \displaystyle {f} \) in \( \displaystyle {\left[{0},\frac{{1}}{{2}}\right]} \).
Sempre dalla disuguaglianza \( \displaystyle {0}\le{f{{\left({x}\right)}}}\le{{x}}^{{2}} \) per \( \displaystyle {x}\in{\left[{0},{1}\right]} \), deduci che l'unico punto fisso di \( \displaystyle {f} \) in \( \displaystyle {\left[{0},\frac{{1}}{{2}}\right]} \) è \( \displaystyle {x}={0} \).

[gugo82]

ciao a tutti.Ho un problema nello studio di una successione definita per ricorrenza,più che altro non riesco bene a risolverle quando il termine \( \displaystyle {a}_{{{n}+{1}}} \) è una funzione integrale.
Normalmente in una successione studio i \( \displaystyle {p}{u}{n}{t}{i}{f{{i}}}{s}{s}{i} \) e la \( \displaystyle {p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{i}{t}à \) della funzione \( \displaystyle \phi{\left({t}\right)}={f{{\left({t}\right)}}}-{t} \)
Per quanto riguarda questa successione:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{a}_{{1}}=\frac{{1}}{{2}}\\{a}_{{{n}+{1}}}={\int_{{{0}}}^{{{{a}_{{n}}^{{2}}}}}}\sqrt{{{\cos{{t}}}}}{\left.{d}{t}\right.}}\right.} \)
la soluzione procede in questo modo,ovvero si calcola la \( \displaystyle \phi{\left({x}\right)} \):
\( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}={f{{\left({x}\right)}}}-{x}={\int_{{{0}}}^{{{{x}}^{{2}}}}}\sqrt{{{\cos{{t}}}}}{\left.{d}{t}\right.}-{x}={\int_{{{0}}}^{{{{x}}^{{2}}}}}{\left(\sqrt{{{\cos{{t}}}}}\right)}-\frac{{1}}{{{2}\sqrt{{{x}}}}}{\left.{d}{t}\right.}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-weight: bold}\gt{q}{u}ì\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt{p}{r}{i}{m}{o}{q}{u}{e}{s}{i}\to..{d}{a}{d}{o}{v}{e}{e}{s}{c}{e} \)-1/(2sqrt(x)$ ?

Innanzitutto, ricordo: Qui, quo, qua, l'accento non ci va.

Una volta corretta la grammatica, passiamo alla Matematica.
Una semplicissima applicazione del principio d'induzione mostra che \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} ,\ a_n>0 \) .

Per ottenere l'espressione integrale di \( \displaystyle \varphi \) basta notare che il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale consente di scrivere:

\( \displaystyle x=|x|=\sqrt{x^2} =\int_0^{x^2} \left( \sqrt{t} \right)^\prime \text{d} t =\int_0^{x^2} \frac{1}{2\sqrt{t}} \ \text{d} t \)

per \( \displaystyle x\geq 0 \) (ed analogamente \( \displaystyle x=\int_{x^2}^0 \frac{1}{2\sqrt{t}} \ \text{d} t \) per \( \displaystyle x\leq 0 \) ).
Quindi:

\( \displaystyle \varphi (x)=\int_0^{x^2} \sqrt{\cos t} \ \text{d} t -x=\int_0^{x^2} \left\{ \sqrt{\cos t} -\frac{1}{2\sqrt{t}} \right\} \text{d} t \) .

Tuttavia non capisco perchè complicarsi la vita introducendo una funzione integrale in più... La soluzione che propone Rigel è molto meglio, IMHO.

[Sutekh]

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