Dimostrazioni per ricorsione

[Tacito]

Buon pomeriggio!!!
Un esercizio di algebra mi dice di dimostrare questa uguaglianza: \( \displaystyle {\left({1}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{3}}\right)}\ldots{\left({1}-\frac{{1}}{{{n}+{1}}}\right)}=\frac{{1}}{{{n}+{1}}} \).
Allora, uso il principio di induzione.
Per prima cosa è necessario che l'uguaglianza sia verificata per \( \displaystyle {n}={1} \).
\( \displaystyle {1}-\frac{{1}}{{2}}=\frac{{1}}{{2}} \), e stiamo apposto.
Ora, posta l'uguaglianza iniziale come vera (ipotesi induttiva) per un numero naturale \( \displaystyle {n}\gt{1} \), bisogna dimostrare che lo è anche per \( \displaystyle {n}+{1} \), cioè che è:
\( \displaystyle {\left({1}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{3}}\right)}\ldots{\left({1}-\frac{{1}}{{{n}+{2}}}\right)}=\frac{{1}}{{{n}+{2}}} \).
Moltiplico entrambi i membri dell'ipotesi induttiva per \( \displaystyle {\left({1}-\frac{{1}}{{{n}+{2}}}\right)} \), e diventa: \( \displaystyle {\left({1}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{3}}\right)}\ldots{\left({1}-\frac{{1}}{{{n}+{1}}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{{n}+{2}}}\right)}={\left(\frac{{1}}{{{n}+{1}}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{{n}+{2}}}\right)} \).
E svolgo i calcoli necessari: \( \displaystyle {\left({1}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{3}}\right)}\ldots{\left({1}-\frac{{1}}{{{n}+{2}}}-\frac{{1}}{{{n}+{1}}}+\frac{{1}}{{{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}}}\right)}=\frac{{1}}{{{n}+{1}}}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}}} \)
Cioè: \( \displaystyle {\left({1}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{3}}\right)}\ldots{\left(\frac{{{n}{\left({n}+{1}\right)}}}{{{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}}}\right)}=\frac{{1}}{{{n}+{2}}}\Rightarrow{\left({1}-\frac{{1}}{{2}}\right)}{\left({1}-\frac{{1}}{{3}}\right)}\ldots{\left({1}-\frac{{n}}{{{n}+{2}}}\right)}=\frac{{1}}{{{n}+{2}}} \). Che non è giusto. Dove ho sbagliato?

[@melia]

Perché hai toccato il primo membro che è già a posto? Il secondo membro poi è giusto.

[Tacito]

Aaah, è vero. La successione stava semplicemente andando avanti al primo membro.
Prima non capivo perché bisognasse moltiplicare, andavo a macchinetta. Perfetto, grazie, questo tuo messaggio, @melia, mi ha illuminato, mi hai chiarito un sacco di cose!

[@melia]

Mi fa piacere, ciao.

[Tacito]

Una domanda che non c'entra molto con le successioni, ma mi serve per un esercizio: come si scompone in fattori primi \( \displaystyle {2}{{n}}^{{3}}+{9}{{n}}^{{2}}+{13}{n}+{6} \), Ruffini con \( \displaystyle {c}=-{2} \), vero?

[Pedofago]

Una domanda che non c'entra molto con le successioni, ma mi serve per un esercizio: come si scompone in fattori primi \( \displaystyle {2}{{n}}^{{2}}+{9}{{n}}^{{2}}+{13}{n}+{6} \), Ruffini?

Direi di sì.. devi trovare una radice del polinomio, in questo caso -1 dovrebbe andar bene

[Tacito]

Perfetto, grazie.Ho quest'uguaglianza: \( \displaystyle {1}+{2}{q}+{3}{{q}}^{{2}}+{4}{{q}}^{{3}}+\ldots+{n}{{q}}^{{{n}-{1}}}=\frac{{{1}-{\left({n}+{1}\right)}{{q}}^{{n}}+{n}{{q}}^{{{n}+{1}}}}}{{{\left({1}-{q}\right)}}^{{2}}} \)
Per iniziare a dimostrarla per ricorsione, ho bisogno di verificare l'uguaglianza sostituendo \( \displaystyle {n} \) col naturale più piccolo che possa andare, in genere 0. Ma in questo caso, va bene 0 o devo partire da 1? o 2?

[Tacito]

Up!

[@melia]

Devi partire da 1, non puoi mettere 0 nel primo membro in quanto le potenze di q si devono fermare alla \( \displaystyle {n}-{1} \)esima

[Tacito]

Ok ho capito, grazie.
E se io avessi questa: \( \displaystyle \frac{{{{x}}^{{{{2}}^{{0}}}}}}{{{1}-{{x}}^{{{{2}}^{{{0}+{1}}}}}}}+\frac{{{{x}}^{{{{2}}^{{1}}}}}}{{{1}-{{x}}^{{{{2}}^{{{1}+{1}}}}}}}+\frac{{{{x}}^{{{{2}}^{{2}}}}}}{{{1}-{{x}}^{{{{2}}^{{{2}+{1}}}}}}}+\ldots+\frac{{{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}}}{{{1}-{{x}}^{{{{2}}^{{{n}+{1}}}}}}}=\frac{{1}}{{{1}-{x}}}-\frac{{1}}{{{1}-{{x}}^{{{{2}}^{{{n}+{1}}}}}}} \),
dovrei iniziare semplicemente da \( \displaystyle {n}={0} \), confermi?

nono un attimo che sistemo le formule

Perfetto, ora va bene!