\[
f(x):= \langle Ax,x \rangle + g(x), \qquad x \in \mathbb R^n
\]
dove $g: RR^n to RR$ è una funzione continua tale che
\[
\exists c > 0, \, \, \exists p>2 : \quad \lim_{\vert x \vert \to \infty} \frac{g(x)}{\vert x \vert^p} = c
\]
(1) Provare che $f$ ammette minimo assoluto, i.e. esiste $y \in \RR^n$ tale che $f(y)=\min_{x \in \RR^n} f(x)$.
(2) Assumendo che
\[
g(0)=0, \qquad \frac{\partial g}{\partial x_i}(0)=0, \qquad \frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(0)=0, \qquad \forall i,j=1,\ldots ,n
\]
dimostrare che se il minimo autovalore di $A$ è negativo, allora $y \ne 0$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
(1) L'idea è mostrare che $f$ è coerciva e da questo segue immediatamente l'asserto (per Weierstrass). Per il teorema spettrale, $A$ è diagonalizzabile: quindi possiamo, a meno di un ininfluente cambiamento di base (?), assumere che $A$ sia diagonale. Possiamo quindi scrivere $f$ nella seguente forma
\[
f(x) = a_1x_1^2 + \ldots + a_nx_n^2 + g(x)
\]
dove $A=\text{diag}(a_1, \ldots , a_n)$. Ora dobbiamo calcolare \( \lim_{\vert x \vert \to \infty} f(x) \): sfruttando l'ipotesi, abbiamo che $g(x) \sim c|x|^p$ per $|x|$ abbastanza grande. L'ipotesi $p>2$ è cruciale: ci permette infatti di concludere:
\[
f(x) = a_1x_1^2 + \ldots + a_nx_n^2 + g(x) \sim a_1x_1^2 + \ldots + a_nx_n^2 + c\vert x \vert^p \sim c\vert x \vert^p \to \infty.
\]
Vi convince?
(2) Qui c'è sicuramente sotto il quoziente di Rayleigh, ma non capisco ancora come tirarlo fuori. Per assurdo, sia $y = 0$. Allora per definizione di minimo
\[
0 = f(0) \le f(x) = \langle Ax, x \rangle + g(x)
\]
per ogni $x \in \RR^n$. Ora:
a. io vorrei far vedere che
\[
\frac{\langle Ax, x \rangle}{\vert x \vert^2} \ge 0
\]
per ogni $x \in \RR^n$ non nullo. Se mostro questo sono a posto, perché il minimo del quoziente di Rayleigh è il minimo autovalore (e quindi avrei l'assurdo).
b. Lo sviluppo di Taylor di $g$ mi dice che \( g(x)=o(\vert x \vert^2) \) per $x$ sufficientemente piccolo, ma non so come utilizzare questa informazione;
c. In realtà, per ottenere l'assurdo basterebbe mostrare che $A$ è semidefinita positiva: insomma, bisogna mostrare che $g$ non influenza il segno della forma quadratica...
Non vedo un modo per collegare le idee a-b-c. Una mano a finire, please?
\[
f(x) = a_1x_1^2 + \ldots + a_nx_n^2 + g(x)
\]
dove $A=\text{diag}(a_1, \ldots , a_n)$. Ora dobbiamo calcolare \( \lim_{\vert x \vert \to \infty} f(x) \): sfruttando l'ipotesi, abbiamo che $g(x) \sim c|x|^p$ per $|x|$ abbastanza grande. L'ipotesi $p>2$ è cruciale: ci permette infatti di concludere:
\[
f(x) = a_1x_1^2 + \ldots + a_nx_n^2 + g(x) \sim a_1x_1^2 + \ldots + a_nx_n^2 + c\vert x \vert^p \sim c\vert x \vert^p \to \infty.
\]
Vi convince?
(2) Qui c'è sicuramente sotto il quoziente di Rayleigh, ma non capisco ancora come tirarlo fuori. Per assurdo, sia $y = 0$. Allora per definizione di minimo
\[
0 = f(0) \le f(x) = \langle Ax, x \rangle + g(x)
\]
per ogni $x \in \RR^n$. Ora:
a. io vorrei far vedere che
\[
\frac{\langle Ax, x \rangle}{\vert x \vert^2} \ge 0
\]
per ogni $x \in \RR^n$ non nullo. Se mostro questo sono a posto, perché il minimo del quoziente di Rayleigh è il minimo autovalore (e quindi avrei l'assurdo).
b. Lo sviluppo di Taylor di $g$ mi dice che \( g(x)=o(\vert x \vert^2) \) per $x$ sufficientemente piccolo, ma non so come utilizzare questa informazione;
c. In realtà, per ottenere l'assurdo basterebbe mostrare che $A$ è semidefinita positiva: insomma, bisogna mostrare che $g$ non influenza il segno della forma quadratica...
Non vedo un modo per collegare le idee a-b-c. Una mano a finire, please?
EDIT: un piccolo aggiornamento.
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Assumendo $A$ diagonale, il gradiente di $f$ in $x=0$ è $\nablaf(0)=0$ e l'hessiana è $2A$.