svolgimento disequazioni

[CAPITANOK]

qualcuno potrebbe illustrarmi lo svolgimento delle seguenti disequazioni
con una breve spiegazione sui passaggi
credo siano brevi il mio problema e che a volte non so che passi fare
tipo se fare prima una cosa o prima un altra

\( \displaystyle {\sqrt[{}]{{{\left|{2}{x}\right|}-{1}}}}\lt-{x} \)

\( \displaystyle {\sqrt[{}]{{{3}{{x}}^{{{2}}}+{2}{x}}}}\le{2}{x}+{1} \)

\( \displaystyle {x}\le{\sqrt[{}]{{{3}{\left|{x}\right|}-{2}}}} \)

[piero_]

ciao e benvenuto nel forum.
Per prima cosa ti consiglio la lettura del regolamento, nel caso tu ti aspettassi le soluzioni degli esercizi (punti 1.2, 1.3, 1.4).

Ti scrivo alcune regole per la risoluzione delle disequazioni irrazionali:

Le prime due disequazioni sono del tipo:

\( \displaystyle \sqrt{{{Q}{\left({x}\right)}}}\lt{P}{\left({x}\right)} \) ovvero \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}\gt\sqrt{{{Q}{\left({x}\right)}}} \)
e si risolvono con il sistema:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{{\left[{P}{\left({x}\right)}\right]}}^{{2}}\gt{Q}{\left({x}\right)}\\{P}{\left({x}\right)}\gt{0}\\{Q}{\left({x}\right)}\ge{0}}\right.} \)
comincia con queste.

[Relegal]

Aggiungoun breve " perchè " al sistema postato da Piero, che può renderne più semplice la memorizzazione.
Come al solito, quando compare una radice, l'idea è quella di elevare al quadrato per farla sparire. In queso tipo di disequazioni, prima di elevare al quadrato, è necessario fare delle osservazioni preliminari, e cioè:
i) Assicurarsi che la radice esista, andando ad imporre quindi che il suo argomento sia positivo o nullo. Nel sistema questo viene
indicato dalla disequazione \( \displaystyle {Q}{\left({x}\right)}\ge{0} \).
ii) Assicurarsi che la disequazione abbia senso, ponendo quindi il secondo membro della disuguaglianza maggiore di zero. Questo
segue dal fatto che \( \displaystyle \sqrt{{{Q}{\left({x}\right)}}} \) dove esiste è positiva o nulla, quindi affinchè \( \displaystyle \sqrt{{{Q}{\left({x}\right)}}}\lt{P}{\left({x}\right)} \), necessariamente deve
essere \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}\gt{0} \).
Infine, poste queste condizioni, si può elevare al quadrato ambo i membri e ottenere così la disequazione \( \displaystyle {{\left[{P}{\left({x}\right)}\right]}}^{{2}}\gt{Q}{\left({x}\right)} \)

[CAPITANOK]

innanzitutto vi rigrazio per le risposte molto chiare
una volta controllate le condizioni ed elevato al quadrato
faccio le 2 condizioni del modulo

\( \displaystyle -{{x}}^{{{2}}}\gt{\left|{2}{x}\right|}-{1} \)

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}\geq{0}\\-{{x}}^{{{2}}}\gt{2}{x}-{1}}\right.} \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}\lt{0}\\-{{x}}^{{{2}}}\gt-{2}{x}-{1}}\right.} \)

poi devo portare tutto da una parte per avere \( \displaystyle -{{x}}^{{{2}}}-{2}{x}+{1}\gt{0} \) e \( \displaystyle -{{x}}^{{{2}}}+{2}{x}+{1}\gt{0} \)

oppure fare separatamente
\( \displaystyle {2}{x}-{1}\geq{0}{x}\geq\frac{{1}}{{2}} \)
\( \displaystyle -{2}{x}-{1}\geq{0}{x}\geq-\frac{{1}}{{2}} \)
e trovare nel grafico dove e poisitivo compreso dove si annulla

e fare separatamente
\( \displaystyle -{{x}}^{{{2}}}\gt{0} \)

[Nicole93]

quello che scrivi mi fa pensare che tu non sappia risolvere una disequazione di secondo grado
infatti ti trovi davanti due disequazioni di secondo grado complete; per risolverle è opportuno cambiare segno al termine di grado massimo, e così le disequazioni diventano : \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{2}{x}-{1}\lt{0};{{x}}^{{2}}-{2}{x}-{1}\lt{0} \) ; trovi le soluzioni dell'equazione associata, infine scrivi immediatamente le soluzioni delle disequazioni, che sono interne all'intervallo individuato dalle soluzioni delle equazioni

[friction]

\( \displaystyle {x}\le\sqrt{{{3}{\left|{x}\right|}-{2}}} \) ossia \( \displaystyle \sqrt{{{3}{\left|{x}\right|}-{2}}}\ge{x} \)

Innanzitutto il DOMINIO: \( \displaystyle {x}\le-\frac{{2}}{{3}}\vee{x}\ge\frac{{2}}{{3}} \)

La radice esiste quando il suo radicando è maggiore o uguale a 0, i.e. \( \displaystyle {3}{\left|{x}\right|}-{2}\ge{0}\Rightarrow{\left|{x}\right|}\ge\frac{{2}}{{3}}\Rightarrow{x}\le-\frac{{2}}{{3}}\vee{x}\ge\frac{{2}}{{3}} \)

Ora ci chiediamo quando \( \displaystyle \sqrt{{{3}{\left|{x}\right|}-{2}}} \) è maggiore o uguale a \( \displaystyle {x} \); abbiamo due casi:
- che \( \displaystyle {x} \) sia quantità positiva ed allora possiamo elevare al quadrato;
- che \( \displaystyle {x} \) sia quantità negativa ed allora la radice (quantità positiva) sarà sempre maggiore di \( \displaystyle {x} \).

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{D}\\{x}\ge{0}\\{3}{\left|{x}\right|}-{2}\ge{{x}}^{{2}}}\right.}\vee{\left\lbrace\matrix{{D}\\{x}\lt{0}\\\forall{x}\in\mathbb{R}}\right.}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{R}{i}{s}{o}{l}{v}{i}{a}{m}{o}{s}{e}{p}{a}{r}{a}{t}{a}{m}{e}{n}{t}{e}{l}{a}{t}{e}{r}{z}{a}{d}{i}{s}{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne\partial{p}{r}{i}{m}{o}{s}{i}{s}{t}{e}{m}{a}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)3|x|>=x^2+2\( \displaystyle {o}{s}{s}{i}{a} \)3x<=-x^2-2vv3x>=x^2+2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{v}{o}{l}\ge{n}{d}{o}{i}{c}{a}{l}{c}{o}{l}{i}{a}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)x^2+3x+2<=0 vv x^2-3x+2<=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{c}{h}{e}{d}{a}\cap{o}\le{s}{e}{g{{u}}}{e}{n}{t}{i}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}{n}{i}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)-2<=x<=-1vv1<=x<=2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{L}{e}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}{n}{i}\partial{p}{r}{i}{m}{o}{s}{i}{s}{t}{e}{m}{a}{s}{o}{n}{o}: \)1<=x<=2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{L}{e}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}{n}{i}\partial{\sec{{o}}}{n}{d}{o}{s}{i}{s}{t}{e}{m}{a}{s}{o}{n}{o}: \)x<=-2/3\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{L}{e}{d}{o}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{p}{r}{e}{n}{d}{e}{r}{e}{e}{n}{t}{r}{a}{m}{b}{e}{q}{u}\in{d}{i}{l}{a}{d}{i}{s}{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne{h}{a}\le{s}{e}{g{{u}}}{e}{n}{t}{i}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}{n}{i}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\left({d}{i}{s}{p}{l}{a}{y}{s}{t}{y}\le{S}=\le{f{{t}}}{\leftlbrace{x}{\mid}{x}\in{\mathbb{{{R}}}}\quad{x}\leq-{\frac{{{2}}}{{{3}}}}{l}{\quad\text{or}\quad}{1}\leq{x}\leq{2}{r}{i}{g{{h}}}{t}\rightrbrace}\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{O}{k},{a}{\mathcal{{e}}}{r}{t}{a}\to{i}{l}{f{{a}}}{\mathtt{{o}}}{c}{h}{e}{s}{o}{n}{o}\to{n}\to\lt{i}{m}{g{{s}}}{r}{c}=\text{http://www.matematicamente.it/forum/images/smilies/icon_redface.gif}{a}\leq\text{:oops:}{t}{i}{t}\le=\frac{\text{Embarassed}}{\gt},{p}{a}{s}{s}{o}{a}{r}{i}{s}{o}{l}{v}{e}{r}{e}{q}{u}{e}{l}{l}{a}{c}{h}{e}{s}{t}{a}{v}{i}{c}{e}{r}{c}{\quad\text{and}\quad}{o}{d}{i}{r}{i}{s}{o}{l}{v}{e}{r}{e}{t}{u}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)sqrt(2|x|-1)<-x\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{D}{O}{M}{I}{N}{I}{O}: \)2|x|-1>=0 rArr |x|>=1/2 rArr x<=-1/2vvx>=1/2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{C}{i}\chi{e}{d}{i}{a}{m}{o}{q}{u}{\quad\text{and}\quad}{o}{l}{a}{r}{a}{d}{i}{c}{e}è\min{\quad\text{or}\quad}{e}{d}{i} \)-x\( \displaystyle ?{F}{a}{c}{i}\le,\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-weight: bold}\gt{s}{o}{l}{o}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt{q}{u}{\quad\text{and}\quad}{o} \)-x\( \displaystyle è{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{o}{\left({h}{a}{i}{m}{a}{i}{v}{i}{s}\to{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}\neg{a}{t}{i}{v}{o}{m}{a}{g{{g{{i}}}}}{\quad\text{or}\quad}{e}{d}{i}{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}{p}{o}{s}{i}{t}{i}{v}{o}?\right)}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \){(D),(-x>=0),(2|x|-1<x^2):}

quindi \( \displaystyle {2}{\left|{x}\right|}\lt{{x}}^{{2}}+{1}\Rightarrow-{{x}}^{{2}}-{1}\lt{2}{x}\lt{{x}}^{{2}}+{1} \) cioè:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}\lt{{x}}^{{2}}+{1}\\{2}{x}\gt-{{x}}^{{2}}-{1}}\right.}\Rightarrow{\left\lbrace\matrix{{{\left({x}-{1}\right)}}^{{2}}\gt{0}\\{{\left({x}+{1}\right)}}^{{2}}\gt{0}}\right.} \)
Le due disequazioni sono banali: la prima è sempre verificata eccetto per \( \displaystyle {x}={1} \), la seconda eccetto per \( \displaystyle {x}=-{1} \). Quindi dobbiamo escludere questi valori dalle soluzioni. Risolvi il sistema e trovi che...