Tautologie

[Neptune]

Salve a tutti,
queste secondo voi sono le pricnipali tautologie? e sopratutto vi sembrano corrette?

1)\( \displaystyle {\left({a}\rightarrow{b}\right)} \) equivale a \( \displaystyle \neg{b}\rightarrow\neg{a}\) \)
2)\( \displaystyle \neg{\left({a}\bigwedge{b}\right)} \) equivale a \( \displaystyle \neg{a}\bigvee\neg{b} \)
3)\( \displaystyle \neg{\left({a}\bigvee{b}\right)} \) equivale a \( \displaystyle \neg{a}\bigwedge\neg{b} \)
4)\( \displaystyle {a}\bigwedge{\left({a}\rightarrow{b}\right)} \) equivale a \( \displaystyle {b} \)
5)\( \displaystyle {\left({a}\rightarrow{B}\right)} \) equivale a \( \displaystyle \neg{\left({a}\bigwedge\neg{b}\right)} \)
6)\( \displaystyle \neg{\left(\neg{a}\right)} \) equivale ad \( \displaystyle {a} \)
7)\( \displaystyle {\left({a}\rightarrow{b}\right)}\bigwedge{\left({b}\rightarrow{c}\right)} \) implica \( \displaystyle {\left({a}\rightarrow{c}\right)} \)
8)\( \displaystyle {\left({a}\rightarrow{b}\right)} \) equivale ad \( \displaystyle \neg{a}\bigvee{b} \)
9)\( \displaystyle \neg{\left({a}\rightarrow{b}\right)} \) equivale ad \( \displaystyle {a}\bigwedge\neg{b} \)

Scusate ma già guardando wikipedia mi sono accorto che alcune di queste non erano presenti, quindi vorrei controllarne la correttezza oltre che la complettazza.

Se poi avete da linkarmi qualche esercizio svolto o comunque con soluzione, di semplificazioni, vi sarei grato se me lo fate presente. Purtroppo tutti gli esercizi che trovo in giro sono senza soluzione.

Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.

[WiZaRd]

WIkipedia non è il massimo per quanto riguarda la Matematica, specie quella italiana.

Ad ogni modo la 4) è sbagliata: la tautologia corretta è \( \displaystyle (a \land (a \to b)) \to b \) ; le altre sono corrette.
Faccio però presente che, se con l'attributo principali intendi dire che sono dotate del requisito di indipendenza le une dalle altre, allora non sono le principali dato che, ad esempio, puoi derivare la 5) dalla 8) e dalla 2); se invece con principali intendi quelle che sono di di uso più frequente, direi di sì.

[adaBTTLS]

nulla da eccepire sulle equivalenze 1,2,3,6,8.
la 7 è una regola di deduzione, insieme con la 4 (che non è un'equivalenza) e con un'altra che manca: \( \displaystyle {\left({a}\vee{b}\right)}\wedge{\left(\neg{a}\right)} \) implica \( \displaystyle {b} \)
la 5 e la 9 non sono indipendenti dalle altre.
spero di essere stata d'aiuto e di non aver commesso errori. ciao.

[Neptune]

WIkipedia non è il massimo per quanto riguarda la Matematica, specie quella italiana.

Ad ogni modo la 4) è sbagliata: la tautologia corretta è \( \displaystyle (a \land (a \to b)) \to b \) ; le altre sono corrette.
Faccio però presente che, se con l'attributo principali intendi dire che sono dotate del requisito di indipendenza le une dalle altre, allora non sono le principali dato che, ad esempio, puoi derivare la 5) dalla 8) e dalla 2); se invece con principali intendi quelle che sono di di uso più frequente, direi di sì.

Si la 4 l'avevo notata anch'io come errata. Chi me l'ha scritta aveva detto se \( \displaystyle \neg{\left({a}\rightarrow{b}\right)} \) equivale a \( \displaystyle {a}\bigwedge\neg{b} \) allora se neghiamo entrambe le parti avremo che \( \displaystyle {\left({a}\rightarrow{b}\right)} \) equivale a \( \displaystyle \neg{a}{V}{V}{V}{b} \) ma effettivamente sulle tavole di verità non mi trovavo.

Comunque si inendo quelle di uso più comune.

Ad ogni modo, \( \displaystyle {\left({a}\rightarrow{b}\right)} \), se volessi togliere \( \displaystyle \rightarrow \), si può trasformare? ovvero se volessi scrivere la stessa formula ma senza il segno di implicazione esiste un modo?

Ad esempio mi chiedono di semplificare la seguente proposizione \( \displaystyle {\left({a}\bigvee\neg{a}\right)}\rightarrow{b} \) ed anche mi chiedono di dimostrare \( \displaystyle {\left(\neg{a}\rightarrow{a}\right)} \) implica logicamente \( \displaystyle {a} \). Come le svolgereste voi?


EDIT: Scusate la confusione, quella a cui mi riferivo io è la 5, ovvero su quella avevo dei dubbi. Quindi la 5 siete sicuri che sia giusta?

[adaBTTLS]

\( \displaystyle {a}\to{b} \), per la 8, è equivalente a \( \displaystyle \neg{a}\vee{b} \)
\( \displaystyle \neg{\left({a}\wedge\neg{b}\right)} \), per la 2, equivale a \( \displaystyle \neg{a}\vee{b} \)
dunque la stessa cosa.
dunque la 5 è vera, ma non indipendente dalle altre.

non ho capito le ultime richieste.

[Neptune]

\( \displaystyle {a}\to{b} \), per la 8, è equivalente a \( \displaystyle \neg{a}\vee{b} \)
\( \displaystyle \neg{\left({a}\wedge\neg{b}\right)} \), per la 2, equivale a \( \displaystyle \neg{a}\vee{b} \)
dunque la stessa cosa.
dunque la 5 è vera, ma non indipendente dalle altre.

non ho capito le ultime richieste.

Cioè mi chiedono di semplificare questa: \( \displaystyle {\left({a}\bigvee\neg{a}\right)}\rightarrow{b} \) ovvero vedere se c'è una maniera più "abbreviata per scriverla sfruttando appunto le tautologie, io ho scritto così:

\( \displaystyle {\left({a}\bigvee\neg{a}\right)}\rightarrow{b} \)

ovvero \( \displaystyle \neg{\left({\left({a}\bigvee\neg{a}\right)}\bigwedge\neg{b}\right)} \)

che si può scrivere anche come \( \displaystyle \neg{\left({a}\bigvee\neg{a}\right)}\bigwedge{b} \)

cioè \( \displaystyle {\left({a}\bigwedge\neg{a}\right)}\bigwedge{b} \) ed essendo \( \displaystyle {a}\bigwedge\neg{a} \) sempre falsa, avremo quindi che tutta la proposizione logica è sempre falsa.

[adaBTTLS]

\( \displaystyle {\left({a}\vee\neg{a}\right)} \) è sempre vera, dunque l'implicazione è vera se e solo se è vera anche \( \displaystyle {b} \)
nella penultima riga c'è un errore: "oppure" anziché "non". la stringa corretta è \( \displaystyle \neg{\left({a}\vee\neg{a}\right)}\vee{b} \).
poiché \( \displaystyle {a}\vee\neg{a} \) è sempre vera, e dunque la sua negazione, che si può scrivere anche \( \displaystyle {a}\wedge\neg{a} \), è sempre falsa, \( \displaystyle {\left({a}\wedge\neg{a}\right)}\vee{b} \) è vera se e solo se è vera \( \displaystyle {b} \).

[WiZaRd]

In altri termini \( \displaystyle (a \lor \neg a) \to b \) equivale a \( \displaystyle b \) .
Faccio presente che una fbf può essere assunta come regola di inferenza sse è una tautologia: ovvero una fbf che sia una tautologia può essere scelta come regola di inferenza di una determinata teoria \( \displaystyle \mathfrak{T} \) . Solitamente la regola di inferenza che si sceglie è il Modus Ponens, ovvero la 4) opportunamente corretta.