Teorema del completamento di una base

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Ciao!
ho provato a fare la dimostrazione del teorema del completamento di una base che è stata lasciata per esercizio dal docente.
era richiesto il non utilizzo del teorema dello scambio nè della relazione di grassman.

io l'ho fatta in questo modo:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. e sia X un sottoinsieme di V linearmente indipendente.

se X non genera V => esiste v1 appartenente a V tale che v1 non appartiene a L(X) => (XU{v1}) è linearmente indipendente.

se XU{v1} non genera V => esiste v2 appartenente a V tale che v2 non appartiene a L(X)U{v1} => (XU{v1}U{v2}) è linearmente indipendente.

e così via fino ad ottenere un insieme XU{v1}U{v2}U....U{vk} che generi V.

Può reggere come dimostrazione?

[gugo82]

Può reggere, ma devi dimostrare che, ad un certo punto, il procedimento iterativo descritto si arresta (i.e. non puoi trovare più vettori linearmente indipendenti da \( \displaystyle X\cup \{ v_1,\ldots ,v_k\} \) ); ciò dipende da come hai definito la dimensione, ad occhio e croce.

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Può reggere, ma devi dimostrare che, ad un certo punto, il procedimento iterativo descritto si arresta (i.e. non puoi trovare più vettori linearmente indipendenti da \( \displaystyle X\cup \{ v_1,\ldots ,v_k\} \) ); ciò dipende da come hai definito la dimensione, ad occhio e croce.

Non saprei come fare..
per me era scontato, perchè se ho un insieme X di cardinalità k<n e ogni volta aggiungo un elemento, per forza prima o poi raggiungerà cardinalità n
una volta trovato il mio insieme \( \displaystyle {X}{U}{\left\lbrace{v}{1},\ldots.{v}{k}\right\rbrace} \) di cardinalità n, essendo X linearmente indipendente automaticamente sarà un sistema di generatori per V.

[j18eos]

Con questa aggiunta dovrebbe andare bene in quanto \( \displaystyle X \) ti risulterebbe un sistema di vettori linearmente indipendenti massimale ovvero una base. Solo un dubbio: come definisci la dimensione di uno spazio vettoriale su un campo?

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emm... dico che la dimensione di uno spazio vettoriale V altro non è che la cardinalità di una qualunque sua base, e quindi il numero di vettori linearmente indipendenti che costituisconouna qualunque base dello spazio V.

[dissonance]

Ma così devi dimostrare che tutte le basi hanno la stessa cardinalità. Altrimenti chi ti dice che non ci sia una base di \( \displaystyle {10} \) elementi e una di \( \displaystyle {11} \)? Mi pare che quest'ultima proposizione richiede il teorema di completamento di una base, e così si crea un cortocircuito logico.

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Ma così devi dimostrare che tutte le basi hanno la stessa cardinalità. Altrimenti chi ti dice che non ci sia una base di \( \displaystyle {10} \) elementi e una di \( \displaystyle {11} \)? Mi pare che quest'ultima proposizione richiede il teorema di completamento di una base, e così si crea un cortocircuito logico.

non richiede il teorema del completamento di una base.
infatti io lo dimostro così:

sia V uno spazio vettoriale finitamente generato.
siano B e B' due basi di V con cardinalità rispettivamente h e k.
se considero B la base e B' un sottoinsieme linearmente indipendente, allora si ha che k<=h (k minore o uguale ad h)
se invece considero B' la base e B il sottoinsieme linearmente indipendente, allora si ha che h<=k (h minore o uguale a k)

per cui risulta h=k. quindi due basi di uno stesso spazio vettoriale devono avere necessariamente stessa cardinalità.

il fatto che una base abbia sempre cardinalità maggiore o uguale rispetto ad un sottoinsieme di V linearmente indipendente lo so dimostrare ovviamente

[j18eos]

Non vabbene in quanto distingui 2 casi distinti ed indipendenti (e.g.: \( \displaystyle B \) base e \( \displaystyle B' \) sistema libero) per cui non puoi dedurre da tale distinzione che \( \displaystyle h=k \) .

Nella tua dimostrazione iniziale dovresti tener presente anche una base, oppure lo hai escluso?

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Non vabbene in quanto distingui 2 casi distinti ed indipendenti (e.g.: \( \displaystyle B \) base e \( \displaystyle B' \) sistema libero) per cui non puoi dedurre da tale distinzione che \( \displaystyle h=k \) .

emm, questa dimostrazione l'ha fatta il mio docente. non ho capito però cosa intendi

no non ho considerato alcuna base nella prima dimostrazione.

[j18eos]

Mi spiego meglio: alla fine dimostri che deve essere \( \displaystyle h\leq k \) oppure \( \displaystyle k\leq h \) ma non che tali disequazioni siano verificate assieme!