Teorema di Lioville sugli integrali elementari

[0nb0]

Buongiorno, sto cercando informazioni su un teorema di Liouville del 1835 che indica un criterio per stabilire se una funzione sia integrabile o meno tramite funzioni elementari (esponenziali,logaritmi, funzioni trigonometriche). Su un libro di testo che lo accenna lo si definisce:

11.1 Teorema (integrali elementari)
Siano p e q funzioni razionali definite su un intervallo I. Allora la funzione x-->q[x]exp[p[x]] è integrabile elementarmente su I se le soluzioni dell'equazione differenziale y'+py=q sono razionali su I.

Da Calcolo differenziale e integrale vol.1 di G.H. Greco

Questo teorema dimostrerebbe che funzioni quali exp[x^2] (la curva di Gauss), cos[x^2], sin[x^2], cos[x]/x non sono integrabili elementarmente. Mi servirebbero informazioni sul teorema (ipotesi, tesi e dimostrazione) in qualsiasi forma (se mi indicate una bibliografia sarebbe meglio comunque).

Cercando con google ho trovato altri teoremi di Liouville più importanti, ma riguardo a questo ho reperito solo questi due link:
http://poisson.phc.unipi.it/~bonacina/works/tesi/presentazione/presentazione.pdf
http://poisson.phc.unipi.it/~bonacina/works/tesi/tesi.pdf.
Si tratta di cose diverse oppure è l'enunciazione non semplificata della versione del teorema espressa dall'estratto?

[dissonance]

Quella che hai trovato è una tesi triennale e io sconsiglio di prenderla in considerazione come fonte di informazioni. (Non perché conosca l'autore o la tesi, ma per aderire al principio di Abel: study the masters and not the pupils.)

Certo è materiale non molto discusso in giro. Tempo fa pure Fioravante Patrone fece una ricerca sull'argomento, qui:

post483431.html#p483431

e non trovò nulla oltre quella stessa tesi trovata da te. Prova a cercare nella bibliografia della tesi.

[0nb0]

Guardando tra la bibliografia ho visto che c'è la dimostrazione nell'articolo di Pessa e Rizzi nel periodico di matematica (quello della Mathesis) n.2 del 1990. Nei link del loro sito però non lo hanno, qualcuno sa come reperirlo?

[dissonance]

Sposto nella sezione "Leggiti questo!" visto che la questione è ora la ricerca di un articolo. Scrivi per favore la citazione completa in modo da facilitare la ricerca agli altri utenti.

Grazie.

[0nb0]

Ho contattato il sito e possono mandarmi una fotocopia dell'articolo. Però passando alla dimostrazione ho visto che contiene nozioni e simbologie quali i campi differenziali che non conosco. Mi potete indicare un libro di testo che mi aiuti ad introdurmi in questo contesto? Parlo da uno che frequenta l'università al primo anno: se ritenete che da analisi matematica I sia un salto molto grande ditemelo, così lascio perdere.

[gugo82]

Lascia perdere.

Concentrati sulle cose davvero importanti dell'Analisi.
Ad esempio, se la materia ti interessa davvero, leggiti un buon libro per approfondire ciò che stai imparando: ad esempio, Rudin, Principles of Mathematical Analysis (o Principi di Analisi Matematica, nella rara traduzione italiana che forse potrai trovare in biblioteca), MacGraw-Hill.

[0nb0]

Il problema è che volevo portare questo argomento per un esame orale e, ponderata ora l'arduità dell'impresa, inizio a pensare se sia meglio cambiarlo. Del fatto che il teorema in se sia un argomento secondario e specioso l'ho capito ormai.

[gugo82]

Sempre sul calcolo degli integrali, potresti approfondire gli integrali razionali.

Ad esempio, c'è un teorema di Tchebichev sugli integrali binomi, ossia sugli integrali del tipo:
\[
\mathfrak{I}(p,r,s;a,b):=\int x^p (ax^r+b)^s\ \text{d} x \qquad \text{(} a,b\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \text{ e } p,r,s\in \mathbb{Q}\text{),}
\]
che recita quanto segue:

L'integrale binomio \(\mathfrak{I}(p,r,s;a,b)\) è razionalizzabile se e solo se è intero almeno uno dei numeri:
\[
s,\qquad \frac{p+1}{r},\qquad s+\frac{p+1}{r}\; .
\]

ove razionalizzabile vuol dire, come al solito, "riconducibile all'integrale di una funzione razionale tramite opportuni accorgimenti".

L'articolo in cui si trova il teorema suddetto dovrebbe essere questo:

M.P. Tchebichev, Sur l'Intégration des Différentielles Irrationnelles, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, tome 18 (1853), p. 87-111.

Tuttavia l'articolo non l'ho ancora letto, quindi non so darti un'opinione precisa in merito alla difficoltà.
L'unica cosa che posso dirti di sicuro è che la parte difficile non è tanto mostrare che nelle tre eventualità elencate l'integrale \(\mathfrak{I}(p,r,s;a,b)\) è razionalizzabile, quanto mostrare che non lo è in tutti gli altri casi.

[0nb0]

Non esiste una copia dell'articolo in italiano o inglese? Il francese non lo conosco.

[gugo82]

È un articolo del 1853, pubblicato su un giornale francese... Quindi credo che non sia disponibile alcuna traduzione.

Ad ogni modo, il francese usato in questo genere di scritti è abbastanza "basic", quindi dovresti quasi poter tradurre all'impronta o aiutandoti con un dizionario on line.
Al massimo, creca qualche tuo collega che abbia studiato francese e fatti dare una mano.