teorema di mozzi

[Nausicaa91]

Non ho capito perché dice che il più generico atto di moto per un sistema rigido è quello rototraslatorio elicoidale... Grazie!

[cyd]

la velocità di un qualsiasi punto di un corpo rigido è esprimibile come \( \displaystyle {V}_{{P}}={V}_{{O}}+\omega\wedge{\left({P}-{O}\right)} \) dove O è un punto arbitrario.
ora resta da stabilirequale sia il tipo di moto piu strambo e perverso che rientri in quella formula.
allora si fa l'ipotesi di non fare ipotesi su V_O cioè si dice che in generale avrà una direzione diversa da \( \displaystyle \omega \).

ma se questo è vero allora \( \displaystyle {v}_{{O}} \) può essere scomposta in due componenti, una parallela a \( \displaystyle \omega \), \( \displaystyle {V}_{{{O}{p}{p}}} \) e una perpendicolare \( \displaystyle {V}_{{{O}{\quad\text{or}\quad}}} \) allora hai \( \displaystyle {V}_{{P}}={V}_{{{O}{p}{p}}}+{V}_{{{O}{\quad\text{or}\quad}}}+\omega\wedge{\left({P}-{O}\right)} \)
ma esiste sempre un punto O2 tale che V_Oor sia scrivibile come \( \displaystyle {V}_{{{O}{\quad\text{or}\quad}}}=\omega\wedge{\left({O}-{O}_{{2}}\right)} \) dunque l'espressione diventa
\( \displaystyle {V}_{{P}}={V}_{{{O}{p}{p}}}+\omega\wedge{\left({P}-{O}_{{2}}\right)} \)
poiche V_Opp è parallelo a omega il moto soddisfa la definizione di rototraslatorio. poiche poi l'atto di moto è definito istantaneamente V_Opp è perforza proporzionale a omega nell'istante considerato ergo l'atto di moto sarà elicoidale

[Nausicaa91]

Ma nell'atto di moto di tipo elicoidale, la velocità di un punto non ha solo componente parallela ad omega? Ho sbagliato dunque a capire?

[cyd]

si
infatti se vei l'ultima espressione di V_P hai una componente di rotazione a velocità angolare omega + la componente parallela della velocità di O (\( \displaystyle {V}_{{{O}{p}{p}}} \) è parallela a \( \displaystyle \omega \))

[Nausicaa91]

io avevo capito così perché ho letto che le velocità dei punti delle rette parallele a quella della direzione privilegiata avevano velocità parallela alla retta della dir privilegiata (e quindi ad omega). Nel moto rototraslatorio le velocità dell'asse parallelo alla retta che non varia la propria direzione invece sono semplicemente uguali. Adesso a me sfugge la differenza concettuale tra questi due tipi di moti, a questo punto. Se le velocità di due punti sono 'uguali' non sono anche parallele tra loro? Boh

[cyd]

si.
se poni nell'ultima formula \( \displaystyle {P}={O}_{{2}} \) hai \( \displaystyle {V}_{{{O}_{{2}}}}={V}_{{{O}{p}{p}}} \)
quindi riscrivendola hai \( \displaystyle {V}_{{P}}={V}_{{{O}_{{2}}}}+\omega\wedge{\left({P}-{O}_{{2}}\right)} \) che soddisfa le tue ipotesi

[Nausicaa91]

Scusa ma non mi è molto chiaro. Allora qual'è la differenza tra i due tipi di moto se è praticamente la stessa cosa???
Che significa che le velocità nel moto elicoidale sono parallele alla dir privilegiata se poi ho anche una componente ortogonale ad omega???

[cyd]

tra i due atti di moto , cioè tra quello piu generale possibile in cui la VO è qualunque e uno elicoidale non c'è differenza. è proprio questo che dice il teorema, cioè che i due coincidono cioè che l'atto di moto piu generale è elicoidale.

per dimostrarlo semplicemente dice che la formula generale che descrive l'atto di moto può essere riscritta in modo che coincida con la formula dell'atto di moto elicoidale.

per quanto riguarda la componente perpendicolare... in un moto elicoidale solo i punti dell'asse hanno velocità parallela ad omega. prendi un solito stupido sasso fatto rotare attaccato ad una corda, se la mano che tiene la corda si sposta lungo la verticale (direzione di omega) hai che tutti i punti dell'asse hanno velocità parallela ad w mentre per esempio il sasso ha una componente parallela a w e una tangente alla circonferenza cioè normale ad w, quindi la velocità del sasso non è diretta come w.

qui è uguale. solo che il teorema dice che è sempre possibile trovare un punto O2 per cui l'espressione generica della velocità di un punto del corpo rigido è esprimibile come quella di un moto elicoidale.

[Nausicaa91]

Okay, perfetto. Adesso mi trovo con i tuoi passaggi, però visualmente non riesco a vedere la differenza. Io mi immagino queti punti che ruotano 'a vite' attorno alla retta, che come hai detto tu, hanno componente parallela alla retta ed una perpendicolare. Il teorema mi dice che tutti i punti appartententi a rette parallele a quella della direzione hanno la velocità parallela alla retta. Ma per l'esempio che hai fatto tu, solo la retta passante per la mano ha punti con velocità parallela ad omega. Se prendo una retta parallela all'asse, che interseca in un dato istante il sasso, io non ho che la velocità del sasso ha solo la componente parallela. Quindi, non è 'improprio' dire che tutti i punti delle rette parallele a quella privilegiata? A questo punto è solo la retta dell'asse.

[cyd]

attenta, di retta veramente figa cen'è solo una.. solo i punti della retta privilegiata hanno velocità diretta come omega, altrimenti avresti necessariamente un moto traslatorio inquanto qualsiasi punto del corpo potrebbe appartenere ad una retta parallela ad essa