Teorema di omomorfismo per insiemi.

[aleio2]

Salve, ho un problema con questo teorema che non riesco (in parte a dimostrare) e di conseguenza (in parte) a capire. L'enunciato è il seguente:

Sia \( \displaystyle f : A \rightarrow B \) un'applicazione qualsiasi. Esiste allora un insieme \( \displaystyle C \) e due applicazioni \( \displaystyle f_s: A \rightarrow C \) (surgettiva) ed \( \displaystyle f_i: C \rightarrow B \) (iniettiva) tali che \( \displaystyle f_i \circ f_s = f \) .

Inoltre se esiste un insieme \( \displaystyle D \) tale che esistono altre 2 applicazioni \( \displaystyle \overline{f_s} : A \rightarrow D \) e \( \displaystyle \overline{f_i} : D \rightarrow B \) rispettivamente surgettiva e iniettiva e tali che \( \displaystyle \overline{f_s} \circ \overline{f_s} = f \) allora esiste un'unica applicazione \( \displaystyle \epsilon : D\rightarrow C \) tale che \( \displaystyle f_s = \epsilon \circ \overline{f_s} \) e \( \displaystyle \overline{f_s}= f_i \circ \epsilon \) .

Infine l'applicazione \( \displaystyle \epsilon \) è bigettiva.

Non riesco proprio a dimostrare la seconda parte del teorema che poi penso sia alla base dei teoremi sugli omomorfismi di algebre e pertanto non riesco ad andare avanti.

Grazie a chi mi aiuterà.

[vict85]

Per prima cosa non è affatto alla base dei teoremi sulle algebre. Anzi forse i casi delle algebre sono più facili perché si lavora direttamente con gli oggetti dei due insiemi. In termini generali sono tutti e due casi particolari di uno stesso teorema sulle categorie (ma questo per te per ora non significa nulla e quindi ignoralo).

Comunque partiamo da \( \displaystyle f_i \) . E' evidente che \( \displaystyle f_i \) è una funzione bigettiva da \( \displaystyle C \) ad \( \displaystyle f(A) \) (con abuso di notazione lo segno nello stesso modo anche se il codominio è stato ristretto). Mentre \( \displaystyle \overline{f}_i \) è una biiezione tra \( \displaystyle D \) e \( \displaystyle f(A) \) . Definiamo quindi \( \displaystyle \epsilon = f_i^{-1}\circ \overline{f}_i \) ed essendo la composizione di funzioni biiettive è una funzione bigettiva. Ovviamente \( \displaystyle f_i \circ \epsilon = f_i \circ f_i^{-1} \circ \overline{f}_i = \overline{f}_i \) . Inoltre \( \displaystyle \epsilon \circ \overline{f}_s = f_i^{-1} \circ f = f_s \) . Questo conclude l'esistenza.

Per l'unicità supponiamo esista una funzione \( \displaystyle \overline{\epsilon} \) con le caratteristiche cercate. Allora \( \displaystyle f_i \circ \overline{\epsilon} = \overline{f}_i \) quindi applicando \( \displaystyle f_i^{-1} \) da entrambi i lati ricavo \( \displaystyle f_i^{-1} \circ f_i \circ \overline{\epsilon} = f_i^{-1} \circ \overline{f}_i\ \rightarrow\ \overline{\epsilon} = \epsilon \) . E con questo abbiamo dimostrato anche l'unicità.

[aleio2]

Grazie della risposta ma c'è ancora una cosa che non ho capito. Come posso concludere che anche \( \displaystyle \overline{f_i} \) è bigettiva?

[vict85]

Grazie della risposta ma c'è ancora una cosa che non ho capito. Come posso concludere che anche \( \displaystyle \overline{f_i} \) è bigettiva?

Data una funzione iniettiva è sempre possibile restringere il codominio in modo da renderla anche suriettiva.

[aleio2]

Grazie mille!