teorema di poisson

[Nausicaa91]

non capisco una cosa... sto studiando il teorema di poisson e c'è scritto che la velocità angolare è definita come
\( \displaystyle {w}=\frac{{1}}{{2}}{\sum_{{{h}={0}}}^{{3}}}{e}_{{{h}}}{x}{e}_{{{h}}} \)

dove\( \displaystyle {e}_{{{1}}}{e}_{{{2}}}{e}_{{{3}}} \) è la terna solidale al corpo rigido.
poi dice che l'espressione è equivalente alla seguente
\( \displaystyle {w}={\left({\dot{{e}}}_{{{2}}}\cdot{e}_{{{3}}}\right)}{e}_{{{1}}}+{\left({\dot{{e}}}_{{{3}}}\cdot{e}_{{{1}}}\right)}{e}_{{{2}}}+{\left({\dot{{e}}}_{{{1}}}\cdot{e}_{{{2}}}\right)}{e}_{{{3}}} \)
ma perché??? mi sto esaurendo da ore!!!

[ELWOOD]

casomai \( \displaystyle \omega \) è definita come:

\( \displaystyle {\vec{{\omega}}}=\frac{{1}}{{2}}{\sum_{{{i}={1}}}^{{{3}}}}{\overline{{{e}}}}_{{i}}\wedge{\frac{{{d}{\overline{{{e}}}}_{{i}}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}} \)

mi sa però che ho agevolato il tuo esaurimento

Qua se vuoi a pag. 35 c'è anche un esempio.

http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispenseMR1no/punti.pdf

[Nausicaa91]

Eh sì, mi devi scusare, ho sbagliato a trascrivere e non trovavo il segno di prodotto vettoriale. Comunque dopo spiega l'equivalenza delle due espressioni. Il problema è che non mi trovo... E' un'ipotesi? E perché poi lo dimostra dopo, a fine teorema? Non ho capito perché parte dal fatto che le due espressioni equivalgono per dimostrare l'asserto e una volta dimostrato quest'ultimo, tramite quest'ultimo dimostra l'equivalenza tra le due espressioni

[ELWOOD]

Devo essere sincero, che non ho ben compreso le tue perplessità, comunque per fare il punto:

1. Esiste un vettore \( \displaystyle \omega \) tale per cui \( \displaystyle {\frac{{{d}{\overline{{{e}}}}_{{i}}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}}={\vec{{\omega}}}\wedge{\overline{{{e}}}}_{{i}} \)
2. Questo vettore \( \displaystyle \omega \) è definito come \( \displaystyle {\vec{{\omega}}}=\frac{{1}}{{2}}{\sum_{{{i}={1}}}^{{{3}}}}{\overline{{{e}}}}_{{i}}\wedge{\frac{{{d}{\overline{{{e}}}}_{{i}}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}} \)

si dimostra che 2 soddisfa la condizione 1

[Nausicaa91]

Va bene. Ma allora perché il vettore della 2 me lo scrive per esteso in quel modo? Come ci arriva? E' questa la mia perplessità.

[ELWOOD]

nella pagina che ti ho postato lo spiega in modo esauriente

[Nausicaa91]

Sì ho letto, ma sinceramente neanche lì m'è chiaro... Cioè, ho un vettore dato dall'espressione che hai scritto tu, che dovrebbe verificare la formula do poisson. Okay e con questo? Se è quello che devo verificare, perché parte con il presupposto che tale vettore GIA' VERIFICA LA MIA TESI?

[ELWOOD]

Cerco di spiegartelo in maniera informale per farti capire il concetto.
Sperimentalmente nello studio dei moti relativi si è visto che le velocità istantantee dei versori di una terna in moto arbitrario rispetto a una terna fissa sono "proporzionali" ad un vettore \( \displaystyle {\overline{{\omega}}} \) chiamato velocità angolare.
In casi come questi (e nei moti rigidi) è sufficiente conoscere l'entità del vettore \( \displaystyle {\overline{{\omega}}} \) per descrivere il moto del sistema riferito alla terna mobile, rispetto alla terna fissa.

Questo vettore è tale per cui \( \displaystyle {\frac{{{d}{\overline{{{e}}}}_{{i}}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}}={\vec{{\omega}}}\wedge{\overline{{{e}}}}_{{i}} \) \( \displaystyle {\left({1}\right)} \)

E Poisson ha dimostrato che questo vettore è definito come \( \displaystyle {\vec{{\omega}}}=\frac{{1}}{{2}}{\sum_{{{i}={1}}}^{{{3}}}}{\overline{{{e}}}}_{{i}}\wedge{\frac{{{d}{\overline{{{e}}}}_{{i}}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}} \) \( \displaystyle {\left({2}\right)} \)

E lo ha dimostrato vedendo che solamente l'espressione \( \displaystyle {\left({2}\right)} \) soddisfa a pieno la \( \displaystyle {\left({1}\right)} \).

non so se ti è più chiaro....

[Nausicaa91]

Sì. Puoi riscrivermi tutti i libri di tutti gli esami che devo fare?
Grazie.
A volte è questione di come si scrivono le cose.
Posso chiederti un'altra cosa? Che differenza c'è tra moto rototraslatorio ed elicoidale? Nel primo c'è scritto che la velocità angolare è costante ed è parallela alla direzione che rimane immutata (quindi se non erro i punti hanno velocità parallela alla direzione privilegiata? O no?) ed in quello elicoidale dice che esiste una retta parallela alla direzione privilegiata in cui i punti hanno velocità angolare parallela alla retta. Ma qual'è la differenza? Ti prego, spiegami con le tue parole così chiare!

[ELWOOD]

...Puoi riscrivermi tutti i libri di tutti gli esami che devo fare?

Non credo faresti un buon affare!

Il moto rototraslatorio è la composizione di un moto traslatorio e di uno rotatorio (che possono essere i più vari in termini di velocità accelerazioni...), il moto elicoidale è un tipo particolare di moto rototraslatorio con la caratteristica che sia \( \displaystyle \omega \) che \( \displaystyle {v} \) sono uniformi (e tra loro proporzionali) rispetto alla terna fissa.
Per questo il moto elicoidale è anche detto moto rototraslatorio uniforme.