Teorema fondamentale dell'algebra: dimostrazioni

[Gaal Dornick]

Ok, da profano allora chiedo: perchè dev'essere numerabile?
Ci provo: ogni elemento dei "numeri algebrici" è una radice di un polinomio.
Quanti polinomi ci sono? sono numerabili, poichè ogni polinomio di grado \( \displaystyle {n}-{1} \) è una n-upla di \( \displaystyle {\mathbb{Q}}^{{n}} \) (assegno i coefficienti), insomma, ci sono numerabili polinomi di grado \( \displaystyle {n} \), e unione numerabile di numerabili è numerabile). E unione finita (le radici di un polinomio sono finite) di numerabili è numerabile. Penso funzioni.

[killing_buddha]

Ok, da profano allora chiedo: perchè dev'essere numerabile?
Ci provo: ogni elemento dei "numeri algebrici" è una radice di un polinomio.
Quanti polinomi ci sono? sono numerabili, poichè ogni polinomio di grado \( \displaystyle {n}-{1} \) è una n-upla di \( \displaystyle {\mathbb{Q}}^{{n}} \) (assegno i coefficienti), insomma, ci sono numerabili polinomi di grado \( \displaystyle {n} \), e unione numerabile di numerabili è numerabile). E unione finita (le radici di un polinomio sono finite) di numerabili è numerabile. Penso funzioni.

Se non lo sapevi sàllo: ogni campo algebricamente chiuso deve avere cardinalità infinita (ossia almeno numerabile). Perchè?

[Paolo90]

sàllo

Va be' che siamo "uomini di scienza", però un minimo di italiano

(forse si scherzava e io non ho colto il lato ironico?).

Senza offesa, scusate se mi sono permesso.

[killing_buddha]

(forse si scherzava e io non ho colto il lato ironico?).

Eh, chissà. (link)

[Gaal Dornick]

Direi che funziona la dimostrazione proposta prima. Con qualche aggiustamento.

I polinomi di un grado fissato sono della cardinalità del campo di partenza.
Al variare del grado in \( \displaystyle \mathbb{N} \) si ragiona così: unione numerabile di finiti è numerabile.
Unione numerabile di infiniti è infinito dello stesso ordine. (non sono affatto sicuro di questo, cioè: è vero per cardinalità numerabile e continua, ma poi non so, non avendo una preparazione in merito - ma la butto lì, secondo me vale)

E infine unione finita (le radici di un polinomio sono finite) di infiniti è infinita.

Direi che va bene, eccezion fatta per la parentesi, per la quale chiedo l'intervento di gente più preparata di me.

[dissonance]

Segnalo un po' di materiale ulteriore sull'argomento, si tratta del libro di algebra lineare di K.Kuttler. C'è un'appendice dedicata al teorema fondamentale dell'algebra con una dimostrazione di tipo topologico (grossomodo mi pare la stessa che si trova sul Sernesi 2, §9.14). Successivamente si introducono dei risultati di tipo algebrico sui polinomi e si perviene ad una seconda dimostrazione. Infine si nota quali vantaggi derivano da questo secondo approccio e si parla anche del campo dei numeri algebrici citato negli ultimi messaggi. E' interessante (IMHO).