teorema sulla corda

[GioCa]

quale angolo si considera?
quello al centro o quello alla circonferenza? non ho trovato una dimostrazione decente
PROBLEMA
in una circonferenza di raggio r è inscritto il trapezio isoscele ABCD contenente il centro della circonferenza.\( \displaystyle {A}{B}={r} \) \( \displaystyle {C}{D}={r}\sqrt{{3}} \) calcolare l'ampiezza degli angoli
grazie

[prime_number]

Ciao!

Allora, osserviamo i vari triangoli:

- ABO equilatero => i suoi angoli saranno tutti uguali e dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, gli angoli AOB, ABO,BOA saranno di 180/3=60°.

- DOC isoscele (DO=CO=r). Allora gli angoli ODC e OCD saranno uguali, chiamiamoli \( \displaystyle \gamma \). Osserva che sempre per il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° si ha che 180°= DOC + \( \displaystyle \gamma \) + \( \displaystyle \gamma \), ovvero DOC=180°-\( \displaystyle {2}\gamma \)

- AOD isocele (AO=DO=r)

Applichiamo il Teorema della corda su DOC.
\( \displaystyle \frac{{r}}{{{s}{e}{n}{\left(\gamma\right)}}}=\frac{{{r}\sqrt{{{3}}}}}{{{s}{e}{n}{\left({180}°-{2}\gamma\right)}}} \). Ricorda che per le proprietà della funzione seno, si ha \( \displaystyle {s}{e}{n}{\left({180}°-{2}\gamma\right)}={s}{e}{n}{\left({2}\gamma\right)} \).
Inoltre \( \displaystyle {s}{e}{n}{\left({2}\gamma\right)}={2}{s}{e}{n}{\left(\gamma\right)}{\cos{{\left(\gamma\right)}}} \).
Allora avremo, semplificando:
\( \displaystyle \frac{{\sqrt{{{3}}}}}{{2}}{\cos{{\left(\gamma\right)}}}={1} \)ovvero\( \displaystyle {\cos{{\left(\gamma\right)}}}=\frac{{\sqrt{{{3}}}}}{{2}} \), \( \displaystyle \gamma={30}° \) oppure \( \displaystyle \gamma={330}° \)(ma vedi bene che quest'ultima soluzione non è accettabile!!

Ora, guarda gli angoli che si formano "attorno" al punto O (ovvero gli angoli AOD, AOB, BOC, DOC).
Abbiamo che:

AOB= 60°
DOC= 180° - \( \displaystyle {2}\gamma \)= 180° -60°=120°
AOD=BOD= \( \displaystyle \beta \) (il trapezio è isoscele, quindi c'è simmetria)
La somma di questi 4 fa 180°.
Peeerciò: 360° = 120° + 60° + \( \displaystyle \beta \) + \( \displaystyle \beta \) => \( \displaystyle \beta \)=90°.

Inoltre ti ricordo che il trinagolo AOD era isocele e quindi si ha ADO=ODA= (180°-90°)/2=45°.

E a questo punto fai le varie somme e troverai gli angoli interni del trapezio.

Paola

ps Suggerimento generale per questo tipo die problemi: quando c'è in ballo una circonferenza e una figura inscritta, prova a tracciare dei raggi che congiungano i vertici della figura o cmq dei punti che il problema ti dà.. Di solito è utile e ti mette in mostra dei triangoli con certe proprietà (come vedi ho usato trinagoli equilateri, isosceli...) su cui applicare vari teoremi.
E, importantissimo, trova tutti gli angoli uguali e segnali sulla figura e metti in luce le loro relazioni, se ce ne sono (viene sempre utile ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, visto che l'ho usata ben 2 volte questa proprietà? Poi se noti ho anche usato la proprietà che gli la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°.
Insomma gli angoli giocano in attacco in questo tipo di problemi, quindi fai una figura ordinata e segnali tutti prima di iniziare a risolvere il problema!!

[karl]

Direi che il tutto si puo' semplificare,senza nemmeno far intervenire
alcun teorema od incognita ,se si osserva che CD(=\( \displaystyle {r}\cdot\sqrt{{3}} \)) e' il lato
del triangolo equilatero inscritto e che pertanto COD=120°.
Questo, insieme col fatto gia' indicato che AOB=60° e AOD=BOC,permette di giungere
rapidamente alla soluzione
karl.

[GioCa]

scusa Karl ma non ho capito il triangolo equilatero sarebbe???????????? ODC nooooooooooo vero
mi riferisco al disegno di prime_number
sulla prima parte nessuno risponde
grazie

[Fioravante Patrone]

scusa Karl ma non ho capito il triangolo equilatero sarebbe???????????? ODC nooooooooooo vero

in una circonferenza si può inscrivere un triangolo equilatero (e tutti i triangoli equilateri inscrivibili sono congruenti tra loro)
karl ha detto che CD è uguale al lato di uno di questi triangolo equilateri

[karl]

Per il teorema della corda ,se e' quello che intendo io,
proporrei questa semplicissima dimostrazione (fig1).
Sia AB la corda e BC il diametro della circonferenza
a cui essa appartiene.
Dal triangolo rettangolo CAB si ha:
\( \displaystyle {A}{B}={B}{C}\cdot{\sin{\alpha}}={2}{R}\cdot{\sin{\alpha}} \) e dunque una corda di una
circonferenza e' il prodotto del diametro di quest'ultima
per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza
ad essa opposti.
Da qui si puo' far discendere il teorema dei seni e via via
tutti gli altri teoremi essenziali della trigonometria piana.
Anche il teorema di Carnot si puo' derivare da questo e ,a tal
proposito,ne propongo una..divertente spiegazione (fig2).
Sia ABC il triangolo dato e si descriva la circonferenza di centro
B e raggio BC .Essa venga intersecata dai lati di ABC nei punti
indicati in figura.
Per il teorema delle due corde MN e CD si ha:
NA*AM=CA*AD ovvero (NB+BA)*(BM-BA)=CA*(CD-CA)
e passando alle misure risulta:
\( \displaystyle {\left({a}+{c}\right)}{\left({a}-{c}\right)}={b}{\left[{2}{a}{\sin{{\left(\frac{{\pi}}{{2}}-\gamma\right)}}}-{b}\right]} \) da cui si ricava appunto:
\( \displaystyle {{c}}^{{2}}={{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}-{2}{a}{b}{\cos{\gamma}} \)
karl

[prime_number]

Kalr non tentare di competere con i miei STUPENDI disegni ..

Paola

[karl]

Mai entrerei in competizione con "il raggio di Sole nei dormitori della periferia"
(da Stefano Benni)
karl

[luca.barletta]

scusate, è stato più forte di me