teoria 1bis: non esistenza di equilibri di Nash

[Fioravante Patrone]

Abbiamo visto che cosa è un gioco in forma strategica, a due giocatori.

E abbiamo visto un esempio (da wedge) di un gioco privo di equilibri di Nash.
Uno potrebbe dire: ovvio! wedge ha preso spazi non compatti!

In realtà, la compattezza di $X$ ed $Y$ non è sufficiente.
Attendo esempi in poposito...

[Kroldar]

In realtà, la compattezza di $X$ ed $Y$ non è sufficiente.

Occorre che le funzioni $f$ e $g$ siano continue?

[Fioravante Patrone]

$f$ e $g$ possono essere prese continue, se si vuole

Intendo dire che si può fare un esempio di gioco senza equilibrio di Nash, anche se gli spazi delle strategie (gli $X$ ed $Y$) ed sono compatti ed i payoff (le $f$ e $g$) sono funzioni continue

[Kroldar]

Qui urge un chiarimento
In $RR^n$ euclideo un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Ma allora un insieme formato da due punti isolati, essendo unione finita di chiusi, è un chiuso e in aggiunta è limitato. Quindi un insieme formato da due punti isolati è un compatto vero? Se è così credo sia facile poi trovare l'esempio cercato...

[Fioravante Patrone]

come si diceva una volta? fuochino? fuoco! bruci!!

però l'appetito vien mangiando!
dopo che avrai spiattellato l'esempio che già hai in mente, ne voglio anche uno in cui $X=Y=[0,1]$ (ed $f,g$ continue, s'intende!)

[Kroldar]

Chi vuole giocare al "pari e dispari"?

$X=Y={0} uu {1}

Codice:

         0        1

0     (1,-1)    (-1,1)

1     (-1,1)    (1,-1)


[Kroldar]

ne voglio anche uno in cui $X=Y=[0,1]$ (ed $f,g$ continue, s'intende!)

Essendo altruista, lascio la possibilità di fare quell'esempio a qualcun altro. Hai ragione, sono troppo magnanimo. Ma che ci vuoi fare

[wedge]

con le funzioni continue non mi viene ancora in mente nulla

ma almeno in questa gli intervalli sono compatti (un po' alla volta magari ci arrivo):

X=Y=[0,1]
f=g=Mant[x]+Mant[y]

[Fioravante Patrone]

Rimango sempre in attesa di un esempio con funzioni continue. Anche perché, senza la continuità dei payoff, avere l'ipotesi di compattezza sugli spazi di strategie è inutile (Bourbaki docet).


Ciò detto, tre considerazioni sull'esempio di wedge.

1.
Se $(\bar x, \bar y)$ è un equilibrio di Nash, allora $\bar x$ è un punto di massimo per la funzione $ x \mapsto f(x,\bar y)$. Allora, per avere un esempio privo di equilibri di Nash basta fare in modo che $ x \mapsto f(x,y)$ non abbia massimo, per qualsiasi valore di $y$.
Mi sembra di capire che questa sia l'idea dietro all'esempio di wedge. Infatti, la funzione che lui propone non ha mai massimo in $x$, comunque sia fissato $y$.
A questa idea se ne aggiunge un'altra: quella di prendere un payoff separabile in $x$ ed $y$. Essendo $f(x,y)= \phi(x) + \psi(y)$, per ottenere quanto detto sopra basta avere una $\phi$ che non ha massimo su $X$.

2.
Ovviamente basta far vedere che non è soddisfatta una delle due condizioni dell'equilibrio di Nash. Quindi wedge come $g$ poteva prendere una funzione qualsiasi. Anche se un esempio "simmetrico" piace di più (non solo ai fisici).

3.
Vi sono interessanti situazioni reali in cui una ragionevole modellizzazione porta a dei payoff come quelli indicati da wedge. Payoff che hanno uno "scalino", un salto. Ne cito due (che poi sono la stessa cosa...).
- duopolio di Bertrand. Le imprese usano il prezzo come variabile strategica. L'idea è che chi ha un prezzo di vendita minore [edit: "minore" era rimasto nella "penna"] si impossessa di tutto il mercato. Allora, dato $p_0$, la funzione $p \mapsto f(p,p_0)$ ha, ragionevolmente, una discontinuità in $p_0$.
- guerra d'attrito. Tipica nel "mating". Spesso nelle esibizioni dei maschi il fattore durata è rilevante. Di nuovo, per valori del parametro rilevante (in questo caso, il tempo) uguali, abbiamo una discontinuità.
Ricordo un fenomeno simile nelle aste in busta chiusa.
La guerra d'attrito è strettamente imparentata col gioco dei polli (chicken).
Un riferimento utile mi sembra:
http://www.puc-rio.br/marco.ind/pdf/dia ... -games.pdf

[Kroldar]

Se $(\bar x, \bar y)$ è un equilibrio di Nash, allora $\bar x$ è un punto di massimo per la funzione $ x \mapsto f(x,\bar y)$. Allora, per avere un esempio privo di equilibri di Nash basta fare in modo che $ x \mapsto f(x,y)$ non abbia massimo, per qualsiasi valore di $y$.

Io però sapevo che una funzione continua su un compatto ammette sempre massimo.
Ora, fissato $y$, la funzione $x \mapsto f(x,y)$ avrà sempre massimo assoluto