Teoria Assiomatica degli Insiemi

[qxtr01]

Per quanto ne sappia, il linguaggio del primo ordine che viene utilizzato per formulare la teoria assiomatica degli insiemi è costituito dai seguenti simboli:

quantificatori: \( \displaystyle \forall \), \( \displaystyle \exists \)
connettivi: \( \displaystyle \neg \), \( \displaystyle \wedge \), \( \displaystyle \vee \), \( \displaystyle \rightarrow \), \( \displaystyle \leftrightarrow \)
predicati: \( \displaystyle = \), \( \displaystyle \in \)
variabili: \( \displaystyle {x}_{{0}} \), \( \displaystyle {x}_{{1}} \), \( \displaystyle {x}_{{2}} \), ...

Come potete osservare non ho incluso ne funzioni ne, soprattutto, costanti.

Come posso fare, disponendo soltanto di questi simboli, ad espandere l'enunciato (falso) \( \displaystyle \forall{x}_{{0}}{\left({x}_{{0}}=\emptyset\right)} \)?

Se il linguaggio disponesse di costanti, e tra queste ci fosse la costante \( \displaystyle \emptyset \), allora non ci sarebbe bisogno di alcuna espansione. Però si porrebbe il problema, dal mio punto di vista forse ancor più difficile da risolvere, di sapere se oltre a \( \displaystyle \emptyset \) ci sono altre costanti, e in questo caso di quali simboli utilizzare per indicarle (uno per ogni insieme?).

Grazie.

[Luc@s]

che assiomatica è? io conosco, e sto studiando or ora, quella ZF.
Ti chiedo il nome giusto per curiosità e mi scuso se la cosa non è costruttiva riguardo la tua domanda

[qxtr01]

Si tratta di ZFC, anche se pure io ho optato per ignorare l'assioma della scelta (che non ho mai capito a cosa serva).

[qxtr01]

Forse ci sono riuscito, ma avrei bisogno di una conferma.

Sostanzialmente l'enunciato \( \displaystyle \forall{x}_{{0}}{\left({x}_{{0}}\in\emptyset\right)} \) ribadisce innanzitutto che esiste un unico insieme \( \displaystyle \emptyset \) che non contiene elementi, e solo poi afferma anche che tale insieme è uguale ad \( \displaystyle {x}_{{0}} \) per ogni scelta di \( \displaystyle {x}_{{0}} \). In simboli: \( \displaystyle {\left(\forall{x}_{{0}}{\left(\exists{x}_{{1}}{\left(\forall{x}_{{2}}{\left({x}_{{2}}\notin{x}_{{1}}\right)}\wedge\neg\exists{x}_{{2}}{\left(\forall{x}_{{3}}{\left({x}_{{3}}\notin{x}_{{2}}\right)}\wedge{x}_{{1}}\ne{x}_{{2}}\right)}\wedge{x}_{{0}}={x}_{{1}}\right)}\right)}\right)} \) (spero di non aver sbagliato a trascriverla...). Per facilitare la lettura della formula, posso dire che questa ha la forma \( \displaystyle {\left(\forall{x}_{{0}}{\left(\exists{x}_{{1}}{\left({E}{\left({x}_{{1}}\right)}\wedge{U}{\left({x}_{{1}}\right)}\wedge{x}_{{0}}={x}_{{1}}\right)}\right)}\right)} \) dove il predicato \( \displaystyle {E}{\left({x}_{{1}}\right)} \) sta per \( \displaystyle {x}_{{1}} \) non contiene elementi e \( \displaystyle {U}{\left({x}_{{1}}\right)} \) sta per \( \displaystyle {x}_{{1}} \) è unico.