Teoria degli insiemi 1 (siete pazzi voi matematici XD)

[gurghet]

È bellissimo il primo esercizio del mio libro di algebra:
1)Sia S un insieme tale che ogni elemento di S sia una parte di S. Oltre all'insieme \( \displaystyle {\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \), esistono insiemi godenti della proprietà che definisce S?

Allora io ho pensato: l'insieme vuoto è una parte di ogni insieme e quindi già la risposta è sì. Poi mi sono detto, anche \( \displaystyle {\left\lbrace{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\right\rbrace} \) è una parte di S perché non ci sono elementi di quest'ultimo che non appartengono ad S, infatti l'unico elemento di quest'ultimo è proprio quello citato nel testo. E poi tutte le varie composizioni e così via all'infinito, insomma la risposta dovrebbe essere: sì infiniti. Giusto?
Ma non vi si intrippa il cervello a fare scartabellamenti simili? Oppure questo è pane quotidiano dei teorici degli insiemi o come si chiamano? Ci credo che siete giunti al paradosso di Russel, se vi trovaste mai in un isola penso che la prima cosa da fare sia andare dal barbiere, tanto per vedere che succede.


ps. come si fa l'insieme vuoto? edit: grazie

[dissonance]

ps. come si fa l'insieme vuoto?

$\emptyset$. Ottieni \( \displaystyle \emptyset \).

[gugo82]

Proviamo (queste cose sono semplici, ma un po' strane anche per noi matematici...)

Innanzitutto ricorda che l'insieme delle parti di un singleton \( \displaystyle {\left\lbrace{a}\right\rbrace} \) è \( \displaystyle {P}{\left({\left\lbrace{a}\right\rbrace}\right)}={\left\lbrace\emptyset,{\left\lbrace{a}\right\rbrace}\right\rbrace} \).
Se \( \displaystyle {S}={\left\lbrace{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\right\rbrace} \), allora \( \displaystyle {S} \) è un singleton con \( \displaystyle {a}={\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \) e quindi \( \displaystyle {P}{\left({S}\right)}={\left\lbrace\emptyset,{S}\right\rbrace}={\left\lbrace\emptyset,{\left\lbrace{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\right\rbrace}\right\rbrace} \).
Ora \( \displaystyle {\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\in{S} \), ma \( \displaystyle {\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\notin{P}{\left({S}\right)} \), cosicché non risulta \( \displaystyle {\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\subseteq{S} \).
Quindi pare che il tuo esempio non funzioni...

Però mai dire mai, può darsi che l'errore grossolano mi abbia colto di sorpresa!


3000° post!

[gurghet]

Ma non capisco. Allora posto che se un insieme gode della proprietà che definisce S è un elemento di S (cioè sono due sinonimi), come fai a partire dal presupposto che \( \displaystyle {S}={\left\lbrace{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\right\rbrace} \), perché se fosse così, l'esercizio sarebbe già finito a priori. Cioé io avevo capito che l'obiettivo era capire come è fatto \( \displaystyle {S} \). O.o

[gugo82]

Lo scopo dell'esercizio è dire se esistono insiemi \( \displaystyle {S} \) distiniti da quello citato che godono della proprietà \( \displaystyle {x}\in{S}\Rightarrow{x}\in{P}{\left({S}\right)} \) (oppure \( \displaystyle {x}\in{S}\Rightarrow{x}\subseteq{S} \)).

Questo è uno di quegli esercizi fatti apposta per far capire allo studente la differenza tra \( \displaystyle \in \) e \( \displaystyle \subseteq \), che è una differenza importante in Teoria degli Insiemi (e non solo).

Ad ogni modo, io non partivo da nessun presupposto; mi sono limitato a controllare la tua soluzione (\( \displaystyle {S}={\left\lbrace{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\right\rbrace} \) appunto) ed a mostrarti che non andava bene.

[gurghet]

urg, martello nelle tempie >.<
allora non avevo capito proprio il testo!!! io l'avevo capito molto più contorto. Domani ci ragiono però ora mi sembra più semplice. GRazie mille.

[WiZaRd]

Chiedo scusa, ma il vuoto non funge? \( \displaystyle \forall{x},{x}\in\emptyset\Rightarrow{x}\subseteq\emptyset \): questa implicazione non è sempre vera?

[adaBTTLS]

non è proprio la stessa cosa, ma da queste parti è stato affrontato recentemente un altro problema che presenta qualche analogia...
http://www.matematicamente.it/forum/algebra-t41211.html

[ViciousGoblin]

Direi che l'insieme vuoto va bene.

E mi pare che vada anche bene \( \displaystyle {S}={\left\lbrace\emptyset,{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\right\rbrace} \)

e allora anche \( \displaystyle {S}={\left\lbrace\emptyset,{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace},{\left\lbrace{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}\right\rbrace}\right\rbrace} \) e cosi' via ....

Gurget ha ragione , sono pazzi questi matematici (questi ????)

[WiZaRd]

Sì, sì... sono proprio pazzi...