Teoria Degli Insiemi

[ndrels]

Ciao a tutti,
ho un problema con questa definizione, in realtà sto andando avanti con la teoria degli insiemi e non sto proprio riuscendo a capire bene come studiare, però dovrò pur cominciare da qualche parte per chiedervi aiuto, quindi parto da qui:

La funzione \(f:N \rightarrow N\) definita, \(\forall n \in N\), da \( n\rightarrow 2n\) è iniettiva ma nono suriettiva;
è iniettiva perché se è \(2n=2m\) [un elemento della \(Im(f)\) è del tipo \(2n\) cioè è immagine dell'elemento \(n\) del dominio] da questa segue che è \(n=m\), ma non è suriettiva perché tutti i numeri naturali dispari non appartengono all'immagine di questa funzione.

Ciò che non riesco a capire è la parte in cui spiega l'iniettività della funzione, che poi non sia suriettiva mi è perfettamente chiaro (a livello di comprensione dell'italiano più un minimo di logica, ma non riuscirei a dimostrarlo con formule matematiche).
Potrebbe qualcuno, partendo da questa definizione, spiegarmi in modo elementare da dove ha tirato fuori il \(2n=2m\)?
Grazie
(è il mio primo messaggio, spero di aver rispettato le regole del forum)

[GundamRX91]

Una funzione è iniettiva quando a elementi distinti si hanno immagini distinte; formalizzando si scrive:

\( \displaystyle \forall{a}_{{1}},{a}_{{2}}\in\mathbb{N},{a}_{{1}}\ne{a}_{{2}}\Rightarrow{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}\ne{f{{\left({a}_{{2}}\right)}}} \)

o all'inverso

\( \displaystyle {f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}={f{{\left({a}_{{2}}\right)}}}\Rightarrow{a}_{{1}}={a}_{{2}} \)

Da quest'ultima, sapendo che la funzione "restituisce" il doppio dell'argomento, supponendo di avere due naturali nella forma \( \displaystyle {2}{m} \) e \( \displaystyle {2}{n} \), questi saranno uguali se \( \displaystyle {2}{m}={2}{n} \); dividendo ambo i membri per \( \displaystyle {2} \) ottieni \( \displaystyle {m}={n} \).
Però ti consiglio di ragionare di più sul dominio e codominio di definizione della funzione: in \( \displaystyle \mathbb{N} \) per quali valori puoi avere che dati due naturali diversi tra loro puoi ottenere la stessa immagine sempre in \( \displaystyle \mathbb{N} \)???

[Richard_Dedekind]

Per evitare di "dividere" in \(\mathbb{N}\) conviene, stavolta, usare la definizione vera e non la contronominale. Cioè, supponiamo che \(n,m\in \mathbb{N}\) siano tali che \(n\neq m\). Allora è ovvio che \(2n\neq 2m\Rightarrow f(n)\neq f(m)\).

Intendiamoci, usare l'altra forma è proprio la legge di cancellazione di un semigruppo (quale è \(\mathbb{N}\)), quindi non c'è nulla di sbagliato, se non il fatto di dover invocare uno strumentino un po' "in là".