Teoria dei gruppi

[AlyAly]

Ciao a tutti,avrei qualche dubbio su i seguenti due esercizi,spero che qualcuno possa aiutarmi a chiarirli...
1)Nell'insieme \( \displaystyle {G}={\left\lbrace{\left({a},{b}\right)}\in\mathbb{Q}{x}\mathbb{Q}{\mid}{\left({a},{b}\right)}\ne{\left({0},{0}\right)}\right\rbrace} \) si consideri l'operazione \( \displaystyle {\left({r},{s}\right)}\cdot{\left({u},{v}\right)}={\left({r}{u}-{2}{s}{v},{r}{v}+{s}{u}\right)} \)
Determinare gli elementi \( \displaystyle {\left({a},{b}\right)}\in{G} \) di ordine finito tali che \( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{Z} \)

2) Dire se è vera o falsa la seguente affermazione: Siano \( \displaystyle {X} \) un insieme finito e \( \displaystyle {G} \) un gruppo finito che agisce transitivamente su X. Allora deve essere \( \displaystyle {\left|{X}\right|}\leq{\left|{G}\right|} \)

Allora io nel punto 1) ho trovato che hanno periodo finito gli elementi \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)} \) e \( \displaystyle {\left(-{1},{0}\right)} \) ... ce ne sono altri?
Per il punto 2) a me viene da pensare che l'affermazione sia falsa,giusto? Perchè se ad esempio prendo \( \displaystyle {X}={\left\lbrace{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7}\right\rbrace} \) e \( \displaystyle {G}={S}_{{3}} \) (gruppo permutazioni di 3 elementi) e definisco un'azione nel modo seguente:
\( \displaystyle {S}_{{3}}{x}{X}{x}{X}{x}{X}\to{X}{x}{X}{x}{X} \)
\( \displaystyle {\left(\pi,{\left({x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}}\right)}\to{\left(\pi{\left({x}_{{1}}\right)},\pi{\left({x}_{{2}}\right)},\pi{\left({x}_{{3}}\right)}\right)}\right.} \)
è ben definita,giusto?
Grazie mille in anticipo a tutti!

[AlyAly]

Nessuno?

[Stickelberger]

1) Dalla formula per la composizione segue che l'applicazione \( \displaystyle {G}\rightarrow{Q}{{\left(\sqrt{{-{2}}}\right)}}^{\times} \)
che manda una coppia \( \displaystyle {\left({u},{v}\right)} \) nel numero complesso \( \displaystyle {u}+{v}\sqrt{{-{2}}} \), e' un
isomorfismo di gruppi. Gli elementi di ordine finito in \( \displaystyle {G} \) corrispondono alle radici
dell'unita' del campo di numeri \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{-{2}}}\right)} \).

Le radici dell'unita' sono interi algebrici ed appartengono quindi all'anello
degli interi \( \displaystyle {Z}{\left[\sqrt{{-{2}}}\right]} \). Il loro valore assoluto e' \( \displaystyle {1} \). Va quindi risolta
l'equazione \( \displaystyle {{u}}^{{2}}+{2}{{v}}^{{2}}={1} \) negli interi \( \displaystyle {u},{v}\in{Z} \).
Le uniche soluzioni sono quelle che avevi gia' trovate: \( \displaystyle {u}=\pm{1} \) e \( \displaystyle {v}={0} \).

2) Sia \( \displaystyle {x}\in{X} \). Allora l'applicazione \( \displaystyle {f{:}}{G}\rightarrow{X} \) data da \( \displaystyle {f{{\left({g}\right)}}}={g{{\left({x}\right)}}} \) e'
suriettiva.