Teoria ZFC: chiarimenti sull'assioma di regolarità.

[Smt_1033]

Non so se la sezione è giusta, posto qui in quanto liceale, in caso spostatelo pure. Comunque sia...

Il nocciolo della questione è che non mi è chiaro bene questo assioma. Da quello che ho capito ogni insieme (non vuoto) deve contenere almeno un elemento che non abbia elementi in comune con l'insieme di partenza e quindi ne seguirebbe che nessun insieme è elemento di sè stesso... quello che non mi è chiaro è:

Poniamo di avere un insieme A che contiene {A, {1,2}}. Ora, facendo l'intersezione di A con {1,2} i due insiemi risultano disgiunti in quanto nè 1 nè 2 da soli appartengono all'insieme, tuttavia l'insieme contiene comunque sè stesso. Qualcuno può chiarirmi questo dubbio? Magari ho capito male l'assioma ma ci sto uscendo pazzo.

[WiZaRd]

Per il futuro, credo che la sezione più appropriata sia Algebra.

Per l'assioma, secondo me sbaglia perché applichi l'assioma di regolarità ad \( \displaystyle {A} \). A mio avviso lo dovresti applicare a \( \displaystyle {\left\lbrace{A}\right\rbrace} \) per mostrare che quell'insieme \( \displaystyle {A} \) non può esistere: prendiamo \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{A},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace} \) e \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{A}\right\rbrace} \), l'unico elemento di \( \displaystyle {B} \) è \( \displaystyle {A} \), quindi puoi fare solo \( \displaystyle {B}\cap{A}={\left\lbrace{A}\right\rbrace}\cap{\left\lbrace{A},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace}={A}\ne\emptyset \) contro l'assioma.

[adaBTTLS]

la scrittura {A} significa l'insieme che ha come unico elemento l'insieme A. se A={1,2}, allora {A, {1,2}}={A}, solo che la scrittura a primo membro non si usa, perché elementi uguali non si ripetono. se \( \displaystyle {A}\ne{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace} \), sia che A contenga o meno 1,2 o altri elementi, l'uguaglianza precedente non è valida. a maggior ragione non può essere valida l'uguaglianza A={A,{1,2}}... però comunque il link mi convince poco.
esempio: A={1,{1,2}}, con B={1,2}. in questo caso \( \displaystyle {B}\in{A},{1}\in{B},{1}\in{A} \)...
spero di essere stata utile.
aspetto eventualmente la spiegazione di altri riguardo la pagina di Wikipedia, però in questo forum si è spesso criticato Wikipedia, indicando tante altre imprecisioni o cantonate... per cui ti posso dire di prendere tutto con le "molle". ciao.

[adaBTTLS]

approfitto per dare il benvenuto al nuovo utente (me ne ero dimenticata), e sposto in Algebra. ciao.

[Smt_1033]

la scrittura {A} significa l'insieme che ha come unico elemento l'insieme A. se A={1,2}, allora {A, {1,2}}={A}, solo che la scrittura a primo membro non si usa, perché elementi uguali non si ripetono. se \( \displaystyle {A}\ne{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace} \), sia che A contenga o meno 1,2 o altri elementi, l'uguaglianza precedente non è valida. a maggior ragione non può essere valida l'uguaglianza A={A,{1,2}}... però comunque il link mi convince poco.
esempio: A={1,{1,2}}, con B={1,2}. in questo caso \( \displaystyle {B}\in{A},{1}\in{B},{1}\in{A} \)...
spero di essere stata utile.
aspetto eventualmente la spiegazione di altri riguardo la pagina di Wikipedia, però in questo forum si è spesso criticato Wikipedia, indicando tante altre imprecisioni o cantonate... per cui ti posso dire di prendere tutto con le "molle". ciao.

Mmmmh boh non mi convince molto perchè se prendo A={1,2,{1,2}}, qualunque elemento di A prenda ha un comune o l'1 o il 2 con A... praticamente quindi stando a quell'assioma un insieme del genere non dovrebbe esistere?

Aiutatemi per favore perchè la ZFC l'ho inserita nella mappa concettuale per gli esami e inoltre sta cosa ormai è diventata un chiodo fisso...

[booleandomain]

Io credo che si possa studiare teoria degli insiemi anche senza affrontare l'assioma di regolarità, di cui non ho mai visto l'utilità (tra l'altro lo dice anche Wikipedia che la sua utilità è bassa).

[Smt_1033]

Sì d'accordo però sta cosa sta iniziando ad assillarmi... tra un po' me lo sogno la notte asd.

[adaBTTLS]

la scrittura {A} significa l'insieme che ha come unico elemento l'insieme A. se A={1,2}, allora {A, {1,2}}={A}, solo che la scrittura a primo membro non si usa, perché elementi uguali non si ripetono. se \( \displaystyle {A}\ne{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace} \), sia che A contenga o meno 1,2 o altri elementi, l'uguaglianza precedente non è valida. a maggior ragione non può essere valida l'uguaglianza A={A,{1,2}}... però comunque il link mi convince poco.
esempio: A={1,{1,2}}, con B={1,2}. in questo caso \( \displaystyle {B}\in{A},{1}\in{B},{1}\in{A} \)...
spero di essere stata utile.
aspetto eventualmente la spiegazione di altri riguardo la pagina di Wikipedia, però in questo forum si è spesso criticato Wikipedia, indicando tante altre imprecisioni o cantonate... per cui ti posso dire di prendere tutto con le "molle". ciao.

Mmmmh boh non mi convince molto perchè se prendo A={1,2,{1,2}}, qualunque elemento di A prenda ha un comune o l'1 o il 2 con A... praticamente quindi stando a quell'assioma un insieme del genere non dovrebbe esistere?
Aiutatemi per favore perchè la ZFC l'ho inserita nella mappa concettuale per gli esami e inoltre sta cosa ormai è diventata un chiodo fisso...

esattamente, se leggi letteralmente l'espressione formale riportata dal link, io ho scritto un esempio di insieme che non dovrebbe esistere.
però wiki non si ferma lì, e "traduce a parole" così:

Ogni insieme non vuoto A contiene un elemento B disgiunto da A.

che io sappia il termine "disgiunto" non si usa tra un elemento ed un insieme... quindi questa frase io non so che cosa significhi...

[ViciousGoblin]

Nella teoria formale degli insiemi non c'e' in realta' differenza tra elementi e insiemi. Questo vuol dire che per
ogni coppia di "oggetti" \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) ci si puo' chiedere se \( \displaystyle {a}\in{b} \) (e di conseguenza se \( \displaystyle {a}\subset{b} \)) - vorra' dire
che \( \displaystyle {\left\lbrace{1}\right\rbrace}\in{1} \) e' falso.
Ora mi pare che l'assioma di regolarita' serva a impedire il paradosso di Russel. Non si puo' per esempio l'insieme di tutti gli insiemi
(se ci fosse , chiamiamolo \( \displaystyle {A} \), dovrebbe essere \( \displaystyle {A}\in{A} \)).

Faccio notare a Smt_1033 che non e' possibile definire \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{A},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace} \) - non si possono usare formule ricorsive!!!
(altrimenti \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{A},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace}={\left\lbrace{\left\lbrace{A},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace}={\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{A},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace}=\ldots={\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{\left\lbrace{A},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\right\rbrace}=\ldots. \) (mi sono divertito un po' con copia e incolla...)

[Smt_1033]

Beh leggendo la stringa formale credo significhi che l'intersezione dev'essere vuota... comunque non mi tornano i conti, stanto a quell'assioma non dovrebbe esistere nemmeno N, visto che viene caratterizzato così... intersecando N con un numero qualsiasi (zero escluso) l'intersezione non è mai vuota, ma se dobbiamo contare anche l'insieme vuoto come elemento questo fa parte di tutti gli insiemi e quindi l'assioma perde senso, perchè a questo punto anche il fantomatico A={A}={A,Ø} può esistere, basta considerare l'intersezione da A e Ø che è chiaramente Ø (nell'assioma di regolarità non specifica se l'insieme B dev'essere non vuoto).