Dimostrazione

[Pixie92]

Buona sera a tutti^^
Scusate ma non sapevo bene dove postare
Comunque vorrei mi spiegaste,in modo chiaro,come impostare questo genere di dimostrazioni in vista della gara di Febbraio delle olimpiadi della matematica

Sia x_0,x_1,x_2,... la successione definita da x_0=2 e x_n_+_1=5+(x_n)^2 per ogni x maggiore uguale di zero.Dimostrare che in una tale successione non compaiono numeri primi diversi da 2.

Ovviamente ho visto le soluzioni ma sono troppo sintetiche e non le ho capite molto
Vi ringrazio anticipatamente^^

[Martino]

[mod="Martino"]Ciao,
ti invito ad imparare ad usare il mathml oppure il tex per la scrittura delle formule.
Inoltre cambia titolo, mettine uno che specifichi l'argomento.
Grazie.[/mod]Sposto in secondaria di II grado.

[giammaria]

Non credo che ci siano regole generali per impostare problemi di quel tipo. Al massimo posso consigliarti il metodo che uso io: prima guardo la formula, chiedendomi se mi suggerisce qualcosa; di solito non succede, e allora calcolo i valori successivi delle prime \( \displaystyle {x}_{{n}} \) e li osservo fino a trovarvi qualche regolarità che possa aiutare nella dimostrazione; passo poi a dimostrare che questa regolarità esiste per tutte le n.

[Auron]

Seguendo le mosse di gianmaria, mi permetto di dare un consiglio.
Se ho capito bene, e quindi:

\( \displaystyle {x}_{{0}}={2} \) e \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}}={5}+{{\left({x}_{{n}}\right)}}^{{2}} \)

I primi numeri della serie sono :

\( \displaystyle {2},{9},{86},{7401},{54774806}\ldots \)

Per quanto riguarda gli \( \displaystyle {x}_{{n}} \) in cui la n è pari la risposta è subito semplice: da \( \displaystyle {x}_{{3}} \) infatti entriamo in un "circolo vizioso" ( che bel termine ) in cui l'ultima cifra del numero per i casi dispari diventa sempre 1 ( questo perchè 6^2 da sempre 6 , a cui aggiunto 5 si avrà sempre 1 ). Elevato alla seconda da sempre 1, con il +5 sempre 6. Non è quindi primo.

Per quanto riguarda gli \( \displaystyle {x}_{{n}} \) con n dispari sono convinto che siano tutti divisibili per 3, ma al momento sono un pò stanchello e mi fermo qui ( i risultati delle divisioni per 3 mi puzzano però di numeri primi ... ).

[misanino]

L'intuizione di Auron è corretta.

Io vedrei il tutto in questo modo:
Analizziamo la tua successione.
Se \( \displaystyle {x}_{{n}} \) è pari, allora \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}}={5}+{{\left({x}_{{n}}\right)}}^{{2}}={5}+\ {{\left({p}{a}{r}{i}\right)}}^{{2}}={5}+\ {p}{a}{r}{i}=\ {d}{i}{s}{p}{a}{r}{i} \).
Invece se \( \displaystyle {x}_{{n}} \) è dispari, allora \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}}={5}+{{\left({x}_{{n}}\right)}}^{{2}}={5}+\ {{\left({d}{i}{s}{p}{a}{r}{i}\right)}}^{{2}}={5}+\ {d}{i}{s}{p}{a}{r}{i}=\ {p}{a}{r}{i} \)
Quindi la successione alterna pari e dispari.
Ora se \( \displaystyle {x}_{{n}} \) è pari, allora è divisibile per 2, e quindi non è un numero primo.
Ci restano da analizzare i termini dispari della successione.
Il primo termine dispari è \( \displaystyle {x}_{{1}}={9} \).
Esso è divisibile per 3.
Il prossimo termine dispari sarà quindi \( \displaystyle {x}_{{3}} \) poichè abbiamo mostrato prima che pari e dispari si alternano nella successione.
Posso scrivere \( \displaystyle {x}_{{3}}={5}+{{\left({x}_{{2}}\right)}}^{{2}}={5}+{{\left({5}+{{\left({x}_{{1}}\right)}}^{{2}}\right)}}^{{2}} \).
In generale quindi, preso un qualunque termine dispari della successione \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}} \) ho che \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}}={5}+{{\left({5}+{{x}_{{{n}-{1}}}^{{2}}}\right)}}^{{2}} \).
Ora voglio mostrare che se \( \displaystyle {x}_{{{n}-{1}}} \) è divisibile per 3, allora lo è anche \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}} \).
In tal modo avrei che \( \displaystyle {x}_{{1}}={9} \) è divisibile per 3, allora lo è \( \displaystyle {x}_{{3}} \), allora lo è \( \displaystyle {x}_{{5}} \) .....
e quindi ogni termine dispari della succesione è divisibile per 3 e quindi non è primo.
Mi resta quindi solo da mostrare che se \( \displaystyle {x}_{{{n}-{1}}} \) è divisibile per 3, allora lo è anche \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}} \).
Ora \( \displaystyle {x}_{{{n}-{1}}} \) è divisibile per 3, allora posso scrivere \( \displaystyle {x}_{{{n}-{1}}}={3}{k} \).
Perciò sfruttando la formula per \( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}} \) scritta sopra ho
\( \displaystyle {x}_{{{n}+{1}}}={5}+{{\left({5}+{{x}_{{{n}-{1}}}^{{2}}}\right)}}^{{2}}={5}+{{\left({5}+{{\left({3}{k}\right)}}^{{2}}\right)}}^{{2}}={5}+{{\left({5}+{9}{{k}}^{{2}}\right)}}^{{2}}={5}+{25}+{81}{{k}}^{{4}}+{90}{{k}}^{{2}}={30}+{81}{{k}}^{{4}}+{90}{{k}}^{{2}}={3}{\left({10}+{27}{{k}}^{{4}}+{30}{{k}}^{{2}}\right)} \)
e quindi è divisibile per 3 e ho finito.
Capito?

[giammaria]

Concordo con quanto scritto finora. Fra i suggerimenti che ho dato, ne ho dimenticato uno, che in questo caso è quello risolutivo: usando la formula di rirrenza, calcolare in funzione di \( \displaystyle {x}_{{n}} \) anche \( \displaystyle {x}_{{{n}+{2}}} \) e magari anche qualcuno dei successivi: a parte l'aver usato indici diversi, è sostanzialmente quello che ha fatto misanino. Il mio ragionamento differisce pochissimo dal suo, ed è
\( \displaystyle {x}_{{{n}+{2}}}={5}+{{x}_{{{n}+{1}}}^{{2}}}={5}+{{\left({5}+{{x}_{{n}}^{{2}}}\right)}}^{{2}}={{x}_{{n}}^{{4}}}+{10}{{x}_{{n}}^{{2}}}+{30} \)
che mostra che se una \( \displaystyle {x}_{{n}} \) è divisibile per un sottomultiplo di 30, lo è anche \( \displaystyle {x}_{{{n}+{2}}} \) e, per ricorrenza, lo sono tutte le x con indice n+2k. Poichè \( \displaystyle {x}_{{0}} \) è divisibile per 2 e \( \displaystyle {x}_{{1}} \) lo è per 3, con indice pari ottengo un numero divisibile per 2 e con indice dispari uno divisible per 3.
Ho notato anch'io che, per i primi valori di n, il 2 o il 3 sono moltiplicati per numeri primi; non garantirei però che valga per ogni n e non saprei dimostrarlo.

[Auron]

Noto con piacere che la mia intuizione era corretta: dopo vari tentativi stamatiina ( nell'ora di arte ) sono arrivato anche io alla soluzione di misamino.

Ho notato anch'io che, per i primi valori di n, il 2 o il 3 sono moltiplicati per numeri primi; non garantirei però che valga per ogni n e non saprei dimostrarlo.

Ora di arte + internet sono un mix letale

Per \( \displaystyle {x}_{{4}} \) , che è pari a \( \displaystyle {54774806} \) , la divisione con il 2 dà risultato \( \displaystyle {27387403} \).
Che non è un numero primo.

( Mi è bastato controllare su http://www.prime-numbers.org/ )