Compattezza degli insiemi di livello

[pmic]

Ciao,
qualcuno può aiutarmi a comprendere questo teorema?

Sia \( \displaystyle {f{:}}{\mathbb{R}}^{{n}}\to\mathbb{R} \) una funzione continua. Condizione necessaria e sufficiente perchè tutti gli insiemi di livello di f siano compatti è che f sia coerciva, ossia che per ogni successione \( \displaystyle {\left\lbrace{x}_{{k}}\right\rbrace} \) tale che
\( \displaystyle \lim_{{{k}\to\infty}}{\left|{\left|{x}_{{k}}\right|}\right|}=\infty \)

risulti
\( \displaystyle \lim_{{{k}\to\infty}}{f{{\left({x}_{{k}}\right)}}}=\infty \)

Dimostrazione:
Si suppone che tutti gli insiemi di livello siano compatti. Per assurdo si ammette che eisiste una successione \( \displaystyle {\left\lbrace{x}_{{k}}\right\rbrace} \) tale che
\( \displaystyle \lim_{{{k}\to\infty}}{\left|{\left|{x}_{{k}}\right|}\right|}=\infty \)

e una \( \displaystyle {a}{l}{f{{a}}} \) tale che per una sottosequenza \( \displaystyle {\left\lbrace{x}_{{k}}\right\rbrace} \) si abbia \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{k}}\right)}}}\le{a}{l}{f{{a}}} \). Deve essere allora \( \displaystyle {x}_{{k}}\in{L}{\left({a}{l}{f{{a}}}\right)} \) per ogni k.
Ma \( \displaystyle {L}{\left({a}{l}{f{{a}}}\right)} \) è compatto, quindi limitato, e ciò contraddice
\( \displaystyle \lim_{{{k}\to\infty}}{\left|{\left|{x}_{{k}}\right|}\right|}=\infty \)

....

Da come penso di aver capito una funzione è coerciva se ai suoi estremi tende a +infinito.
Non capisco però cosa voglia dire che \( \displaystyle \lim_{{{k}\to\infty}}{\left|{\left|{x}_{{k}}\right|}\right|}=\infty \) e in particolare la dimostrazione....chi mi aiuta a comprenderla?

Grazie.

[dissonance]

[mod="dissonance"]Sposto nella sezione di Analisi matematica.[/mod]