Calcolo 3 per fisica

[Ska]

questo ti permette di concludere dato che \( \displaystyle {{c}_{{k}}^{{{\left({n}\right)}}}}={{\left({i}{k}\right)}}^{{n}}{c}_{{k}} \) con \( \displaystyle {n}\gt{0} \).

come faccio ad arrivare a questa conclusione?

\( \displaystyle {{c}_{{k}}^{{{\left({n}\right)}}}}={{i}}^{{n}}{{k}}^{{n}}{c}_{{k}} \) e a parte il \( \displaystyle {{i}}^{{n}} \) il resto è proprio l'argomento del tuo limite e hai che \( \displaystyle {{i}}^{{n}} \) può valere \( \displaystyle {1},-{1},{i},-{i} \) quindi puoi dire che \( \displaystyle {{k}}^{{n}}{c}_{{k}}\rightarrow{0} \)

[simobug88]

questo ti permette di concludere dato che \( \displaystyle {{c}_{{k}}^{{{\left({n}\right)}}}}={{\left({i}{k}\right)}}^{{n}}{c}_{{k}} \) con \( \displaystyle {n}\gt{0} \).

come faccio ad arrivare a questa conclusione?

\( \displaystyle {{c}_{{k}}^{{{\left({n}\right)}}}}={{i}}^{{n}}{{k}}^{{n}}{c}_{{k}} \) e a parte il \( \displaystyle {{i}}^{{n}} \) il resto è proprio l'argomento del tuo limite e hai che \( \displaystyle {{i}}^{{n}} \) può valere \( \displaystyle {1},-{1},{i},-{i} \) quindi puoi dire che \( \displaystyle {{k}}^{{n}}{c}_{{k}}\rightarrow{0} \)

scusami ancora, ma come faccio a dire che \( \displaystyle {{k}}^{{n}}{c}_{{k}}\rightarrow{0} \) ? Ho \( \displaystyle {c}_{{k}}\rightarrow{0} \) ma \( \displaystyle {{k}}^{{n}}\rightarrow\infty \), perchè il prodotto tende a 0?
e la relazione \( \displaystyle {{c}_{{k}}^{{{\left({n}\right)}}}}={{\left({i}{k}\right)}}^{{n}}{c}_{{k}} \) con \( \displaystyle {n}\gt{0} \) viene da qualche teorema?
Grazie per il tuo aiuto!

[Ska]

Allora....
Il teorema di Riemann-Lebesgue ti dice che che data \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) sviluppabile in SdF e \( \displaystyle \gamma_{{k}} \) i coefficienti associati allora \( \displaystyle \gamma_{{k}}\rightarrow{0} \) per \( \displaystyle {\left|{k}\right|}\rightarrow\infty \).

Tu hai una funzione che è \( \displaystyle {{C}}^{\infty} \) quindi la SdF delle derivate n-esime le puoi calcolare derivando termine a termine la serie di fourier di partenza, inoltre proprio perchè \( \displaystyle {f{\in}}{{C}}^{\infty} \) allora \( \displaystyle {{f}}^{{{\left({n}\right)}}}\in{{C}}^{\infty} \) e quindi anche per gli sviluppi in serie delle derivate varrà il teorema di Riemann-Lebesgue, ovvero \( \displaystyle {{c}_{{k}}^{{{\left({n}\right)}}}}\rightarrow{0} \) per \( \displaystyle {\left|{k}\right|}\rightarrow\infty \). Infine hai il teorema di derivazione che ti dice che \( \displaystyle {{c}_{{k}}^{{{\left({n}\right)}}}}={{\left({i}{k}\right)}}^{{n}}{c}_{{k}} \). e quindi mettendo insieme le cose hai che \( \displaystyle {{\left({i}{k}\right)}}^{{n}}{c}_{{k}}\rightarrow{0} \) per \( \displaystyle {\left|{k}\right|}\rightarrow\infty \) da cui puoi dedurre che \( \displaystyle {{k}}^{{n}}{c}_{{k}}\rightarrow{0} \) per \( \displaystyle {k}\rightarrow\infty \).