pinodoc ha scritto:scusa ma non ho capito niente... vp e vn come gli hai trovati? vn non è (0,0,1) quello che ho già trovato normale al piano?
Le equazioni parametriche della retta, le hai date tu nel primo messaggio, sono \( \displaystyle {x}={1}+{t} \), \( \displaystyle {y}={2}-{3}{t} \), \( \displaystyle {z}=-{3}+{3}{t} \), cioé in forma vettoriale \( \displaystyle {P}{\left({t}\right)}={P}_{{0}}+{v}{t} \), con \( \displaystyle {P}_{{0}}={\left({1},{2},-{3}\right)} \) e \( \displaystyle {v}={\left({1},-{3},{3}\right)} \).
\( \displaystyle {v}_{{p}} \) e \( \displaystyle {v}_{{n}} \) sono i due "pezzi" in cui scompongo il vettore \( \displaystyle {v} \). \( \displaystyle {v}_{{p}}={\left({1},-{3},{0}\right)} \) giace sul piano e \( \displaystyle {v}_{{n}}={\left({0},{0},{3}\right)} \) è normale al piano. \( \displaystyle {v}_{{p}}+{v}_{{n}}={v} \). \( \displaystyle {v}_{{p}} \) è la proiezione di \( \displaystyle {v} \) sul piano.
Per ottenere \( \displaystyle {v}_{{n}} \), la componente di \( \displaystyle {v} \) normale al piano, devo prima calcolare il prodotto scalare di \( \displaystyle {v} \) per il versore normale al piano: \( \displaystyle {v}\cdot{n}={\left({1},-{3},{3}\right)}\cdot{\left({0},{0},{1}\right)}={3} \) e poi moltiplicare il versore normale per il risultato: \( \displaystyle {v}_{{n}}={\left({v}\cdot{n}\right)}{n}={3}{\left({0},{0},{1}\right)}={\left({0},{0},{3}\right)} \)
Per ottenere \( \displaystyle {v}_{{p}} \) basta sottrarre \( \displaystyle {v}_{{n}} \) da \( \displaystyle {v} \): \( \displaystyle {v}_{{p}}={v}-{v}_{{n}}={\left({1},-{3},{3}\right)}-{\left({0},{0},{3}\right)}={\left({1},-{3},{0}\right)} \).
Il punto di intersezione di \( \displaystyle {r} \) con il piano, chiamiamolo \( \displaystyle {Q} \), l'abbiamo già determinato prima ed è \( \displaystyle {\left({\frac{{{7}}}{{{3}}}},-{2},{1}\right)} \).
Quindi l'equazione parametrica della proiezione della retta \( \displaystyle {r} \) sul piano sarà \( \displaystyle {P}{\left({t}\right)}={Q}+{v}_{{p}}{t}={\left({\frac{{{7}}}{{{3}}}},-{2},{1}\right)}+{t}{\left({1},-{3},{0}\right)} \).
Meglio di così non credo di saperlo spiegare.
