Integrale

[Lionel]

Salve a tutti.

Come procedereste per determinare la soluzione di tale integrale:

\( \displaystyle \int\frac{{{2}{{x}}^{{4}}-{10}{{x}}^{{3}}-{2}{{x}}^{{2}}+{35}{x}-{4}}}{{{{x}}^{{3}}-{5}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+{24}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

Ho svolto così l'integrale, ho effettuato la divisione tra i due polinomi e ottengo:

\( \displaystyle {2}{x}+\frac{{{2}{{x}}^{{2}}-{13}{x}-{4}}}{{{{x}}^{{3}}-{5}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+{24}}} \)

scomponendo con Ruffini questo denominatore

\( \displaystyle {2}{x}+{\left(\frac{{{2}{{x}}^{{2}}-{13}{x}-{4}}}{{{{x}}^{{3}}-{5}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+{24}}}\right)}=\frac{{A}}{{{x}-{4}}}+\frac{{B}}{{{x}-{3}}}+\frac{{C}}{{{x}-{2}}} \)

e da qui

\( \displaystyle {A}+{B}+{C}={2} \)
\( \displaystyle -{5}{A}-{6}{B}-{7}{C}=-{13} \)
\( \displaystyle {6}{A}+{8}{A}-{12}{C}=-{4} \)

dove

\( \displaystyle {A}=-\frac{{197}}{{2}} \)
\( \displaystyle {B}={29} \)
\( \displaystyle {C}=-\frac{{143}}{{2}} \)


Il procedimento è corretto, dove sbaglio? Grazie.

[theras]

Ciao!
E' solo \( \displaystyle \frac{{{R}{\left({x}\right)}}}{{{D}{\left({x}\right)}}} \),con degR<degD,a dover esser decomposto nella somma di fratti semplici,
ed inoltre direi proprio che (x-4)(x-3)(x-2) non può esser uguale ad un polinomio il cui termine noto è +24;
infine,sopratutto se i fattori irriducibili della decomposizione del denominatore sono polinomi lineari con molteplicità 1,
conviene usare altri metodi che ti risparmiano i troppi conti cui sei costretto se t'ispiri al principio d'identità dei polinomi:
se ad ex scrivi che \( \displaystyle \exists{A},{B}\in\mathbb{R} \) t.c. \( \displaystyle \frac{{1}}{{{{x}}^{{2}}-{4}}}=\frac{{A}}{{{x}-{2}}}+\frac{{B}}{{{x}+{2}}} \),
puoi provare a verificare che necessariamente \( \displaystyle {A}=\lim_{{{x}\to{2}}}\frac{{1}}{{{{x}}^{{2}}-{4}}}{\left({x}-{2}\right)}=\frac{{1}}{{4}},{B}=\lim_{{{x}\to-{2}}}\frac{{1}}{{{{x}}^{{2}}-{4}}}{\left({x}+{2}\right)}=-\frac{{1}}{{4}} \) e,
dopo avervi effettuato le dovute correzioni,estendere questa tecnica al caso da te considerato.
Saluti dal web.

[chiaraotta]

...
Come procedereste per determinare la soluzione di tale integrale:

\( \displaystyle \int\frac{{{2}{{x}}^{{4}}-{10}{{x}}^{{3}}-{2}{{x}}^{{2}}+{35}{x}-{4}}}{{{{x}}^{{3}}-{5}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+{24}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

...

\( \displaystyle \frac{{{2}{{x}}^{{4}}-{10}{{x}}^{{3}}-{2}{{x}}^{{2}}+{35}{x}-{4}}}{{{{x}}^{{3}}-{5}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+{24}}}=-\frac{{4}}{{{x}-{4}}}+\frac{{5}}{{{x}-{3}}}+\frac{{1}}{{{x}+{2}}}+{2}{x} \)