Gugo82 ha scritto:pat87 ha scritto:Non mi convince che i compatti nella topologia discreta sono soltanto i sottoinsiemi finiti. Sei sicuro?
Sia \( \displaystyle {X}\subseteq{\mathbb{R}}^{{2}} \) infinito. La famiglia di singleton \( \displaystyle {\left\lbrace{\left\lbrace{x}\right\rbrace}\right\rbrace}_{{{x}\in{X}}} \) è un ricoprimento aperto di \( \displaystyle {X} \) in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) discreto dal quale non è possibile estrarre un ricoprimento finito; ergo \( \displaystyle {X} \) non è compatto in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) discreto.
D'altra parte, se \( \displaystyle {X} \) è finito, da ogni ricoprimento di \( \displaystyle {X} \) è possibile estrarre un ricoprimento finito (basta scegliere per ogni punto di \( \displaystyle {x}\in{X} \) un elemento del ricoprimento cui \( \displaystyle {x} \) appartiene), quindi \( \displaystyle {X} \) è compatto.
Che dici, pat87, funziona?
Si scusatemi avevo il cervello in pappa ieri
In ogni caso ogni insieme può essere limitato secondo una certa metrica, basta scegliere per esempio \( \displaystyle {d}{\left({p},{q}\right)}={0} \) se \( \displaystyle {p}={q} \), \( \displaystyle {d}{\left({p},{q}\right)}={1} \), se \( \displaystyle {p}\ne{q} \), e quindi sei a posto perché questa metrica induce proprio la topologia discreta.
