Topologia discreta su \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \)

[squalllionheart]

Devo dire se esiste su \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) un sottoinsieme chiuso e limitato non compatto.
Allora se ho quella topologia ogni punto è chiuso, il fatto che sia limitato mi dice solo che è dentro un intorno sferico di raggio finito. I compatti con questa topologia sono in generale sottoinsiemi finiti. Ogni insieme infinito è nn compatto. Dunque esistono su \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) sottoinsiemi chiusi e limitati non compatti.Ad esempio tutti i dischi in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) sono chiusi limitati ma formati da infiniti punti.

[pat87]

Non mi convince che i compatti nella topologia discreta sono soltanto i sottoinsiemi finiti. Sei sicuro?

Io sarei più tentato di considerare l'esempio \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) con la topologia generata dalla metrica
\( \displaystyle {d}{\left({a},{b}\right)}\:=\min{\left\lbrace{1},{\left|{\left|{b}-{a}\right|}\right|}\right\rbrace} \)

Prendendo \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) come sottoinsieme, questo è chiuso e limitato per definizione (ogni suo sottoinsieme è limitato con quella metrica), ma non è compatto.

[squalllionheart]

Scusa pat l'esercizo è proprio \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) con topologia discreta, dire se esiste un sottoinsieme chiuso e limitato non compatto.

[pat87]

Ah ok non avevo capito.
Ok, ragionando (a quest'ora di notte può capitare di fare ragionamenti a vuoto) ho concluso che hai ragione. Un disco è un unione infinita di punti (aperti) e non ammette un sottoricoprimento finito e quindi non è compatto, ma è chiuso e limitato.

[gugo82]

Non mi convince che i compatti nella topologia discreta sono soltanto i sottoinsiemi finiti. Sei sicuro?

Sia \( \displaystyle {X}\subseteq{\mathbb{R}}^{{2}} \) infinito. La famiglia di singleton \( \displaystyle {\left\lbrace{\left\lbrace{x}\right\rbrace}\right\rbrace}_{{{x}\in{X}}} \) è un ricoprimento aperto di \( \displaystyle {X} \) in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) discreto dal quale non è possibile estrarre un ricoprimento finito; ergo \( \displaystyle {X} \) non è compatto in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) discreto.
D'altra parte, se \( \displaystyle {X} \) è finito, da ogni ricoprimento di \( \displaystyle {X} \) è possibile estrarre un ricoprimento finito (basta scegliere per ogni punto di \( \displaystyle {x}\in{X} \) un elemento del ricoprimento cui \( \displaystyle {x} \) appartiene), quindi \( \displaystyle {X} \) è compatto.

Che dici, pat87, funziona?

[squalllionheart]

Ok grazie

[gugo82]

@squalllionheart: La soluzione al tuo problema l'avevi già determinata. Però mi rimane una domanda: quando dici "chiuso e limitato" ti riferisci alla topologia discreta?

[squalllionheart]

io l'ho pensato in generale per dir la verità...

[gugo82]

Il dubbio mi era venuto perchè "limitato" non è un concetto topologico "puro" (come "chiuso"), ma è un concetto "metrico".

[vict85]

Sono d'accordo con Gugo82: il concetto di limitato è legato ad una certa metrica. In ogni caso credo che il problema non desse particolari problemi interpretativi...