Traformazioni di Fourier

[stefano_89]

ciao a tutti, ho alcuni quesiti su trasformate d Fourier.

1) ho il segnale d' ingresso a tempo discreto \( \displaystyle {x}{\left({n}{T}\right)}={\sum_{{{k}=-\infty}}^{{+\infty}}}\delta{\left({n}{T}-{4}{k}\right)} \) (con T = 1) e devo verificare che la sua traformata sia: \( \displaystyle {X}{\left({f}\right)}=\frac{{1}}{{4}}{r}{e}{p}\frac{{1}}{{4}}\delta{\left({f}\right)} \)

Ora, ci sono un paio di cose che mi danno da pensare. Intanto come fa la traformata di una funzione, ad essere uguale a quella di partenza, cioè, avendo un impulso nel tempo, mi aspetterei un gradino in frequenza. Poi, l' inglesso è una funzione discreta e periodica, invece il testo propone la trasformata di una funzione discreta e aperiodica. Per quanto riguarda i coefficienti \( \displaystyle \frac{{1}}{{4}} \) è tutto ok: l' altezza della trasf. dell' impulso ha ampiezza inversa al suo dominio, e la discretizzazione fatta nel tempo equivale ad una ripetizione periodica di periodo inverso.

Chi mi può dare una mano a sciogliere questo dubbio ?

2) ho il segnale in uscita del sistema precedente che vale: \( \displaystyle {y}{\left({n}\right)}={\cos{{\left(\frac{{5}}{{4}}\pi{n}+\frac{\pi}{{4}}\right)}}} \) e mi si chiede la trasf. di Fourior.

Dato che \( \displaystyle {y}{\left({n}\right)} \) è discreta, la sua trasf sarà di nuovo una ripetizione periodica. Poi, utilizzando la proprietà di modulazione nel tempo, e ricordando che la trasf di un coseno dà 2 \( \displaystyle \delta \) dovrei ottenere una cosa del tipo: \( \displaystyle {Y}{\left({f}\right)}={{e}}^{{-{j}{2}\pi\frac{{f{\pi}}}{{4}}}}{\sum_{{{k}=-\infty}}^{{+\infty}}}\delta{\left({f{-}}{k}\frac{{5}}{{8}}\right)}+\delta{\left({f{+}}{k}\frac{{5}}{{8}}\right)} \)
dove quel \( \displaystyle \frac{{5}}{{8}} \) viene fuori dell' uguaglianza \( \displaystyle \frac{{5}}{{4}}\pi={2}\pi{f} \)

Poi si dovrebbe trovare il rapporto \( \displaystyle {H}{\left({f}\right)}=\frac{{{Y}{\left({f}\right)}}}{{X}}{\left({f}\right)} \), ma è meglio pensarci dopo aver controllato i calcoli preceenti..

3) Ho un ultim quesito, devo trovare l' antitraformata continua e discreta di \( \displaystyle {X}{\left({f}\right)}={{\cos}}^{{2}}{\left({f}\right)}+{s}{e}{{n}}^{{2}}{\left({3}{f}\right)} \).

posso dire che \( \displaystyle {X}{\left({f}\right)}=\frac{{1}}{{4}}{{\left({{e}}^{{{j}{f}}}+{{e}}^{{-{j}{f}}}\right)}}^{{2}}-\frac{{1}}{{4}}{{\left({{e}}^{{{j}{3}{f}}}-{{e}}^{{-{j}{3}{f}}}\right)}}^{{2}}=\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{{j}{2}{f}}}+\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{-{j}{2}{f}}}+\frac{{1}}{{2}}-\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{{j}{6}{f}}}-\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{-{j}{6}{f}}}+\frac{{1}}{{2}}={\left(\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{{j}{2}{f}}}+\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{-{j}{2}{f}}}\right)}+{1}-{\left(\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{{j}{6}{f}}}+\frac{{1}}{{4}}{{e}}^{{-{j}{6}{f}}}\right)} \)

allora nel tempo: \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}=\frac{{1}}{{4}}\delta{\left({t}+\frac{{1}}{\pi}\right)}+\frac{{1}}{{4}}\delta{\left({t}-\frac{{1}}{\pi}\right)}+\delta{\left({t}\right)}-\frac{{1}}{{4}}\delta{\left({t}+\frac{{3}}{\pi}\right)}-\frac{{1}}{{4}}\delta{\left({t}-\frac{{3}}{\pi}\right)} \) dovre la traslazione l' ho ottenuta dall' uguaglianza: \( \displaystyle {2}\pi{f{=}}{2}{f{{K}}} \) e \( \displaystyle {2}\pi{f{=}}{6}{f{{K}}} \)

che ne dite ?

[dissonance]

Sposto in Ingegneria, dove hai maggiore riscontro.

[vinlaz]

Ciao non ne sono sicurro, in quanto anch'io sto preparando teoria dei segnali, ma essendo la tua x(nT) un treno di impulsi di dirac nel dominio della frequenza avrai ancora delle repliche della delta tutte ad un 1/4 che sarebbe la frequenza di campionamento.Penso sfrutti anche la proprieta campionatrice della delta. x(t)=(1/T)( \( \displaystyle {\sum_{{\lt{n}\gt=\lt-\infty\gt}}^{{\lt{n}\gt=\lt+\infty\gt}}}{{e}}^{{\lt{j}\frac{{{2}\pi{n}{t}}}{{T}}\gt}} \) ). Ovviamente sai che la trasformata dell'esponenziale è uguale alla delta a K/To. La mia è solo un'opinione. Per gli altri punti ci sto lavorando.

[stefano_89]

grazie intanto, ma ancora mi puzza questa cosa del \( \displaystyle \delta \). Perchè alla fine, nel tempo si ha un impulso campionato, che in frequenza dà una ripetizione periodica, ma nel tempo si ha anche una periodicità pari a 4, e si sà che un segnale periodico diventa discreto dopo la trasformazione.

[vinlaz]

Per il 2° punto mi chiedo, come hai ottenuto il coseno? Prima avevi un sistema LTI? Se si hai applicato la proprieta dei sistemi lti, cioè se in ingresso hanno un ingresso sinusoidale, in uscit5a avro ancora un segnale sinusoidale con gli opportuni contributi del sistema lti? Tutto sommato facendo i calcoli mi sembra che la trasformata sia giusta, a meno del tutto fratto 2 in quanto \( \displaystyle {\cos{{\left({2}\pi{k}{F}{o}{t}\right)}}}=\frac{{\delta{\left({f{-}}{F}{o}\right)}+\delta{\left({f{+}}{F}{o}\right)}}}{{2}} \)

[stefano_89]

ah nono, non preoccuparti, non si tratta di un sistema reale o chissa cosa, di fatto di 2 segnali qualsiasi a cui è stato dato il nome di IN e OUT. Si in effetti ho dimenticato quel coefficiente..