transitori del secondo ordine

[stefu1989]

superati i problemi che avevo con i transitori del primo ordine, ora mi trovo in trovo in difficoltà con quelli del secondo ordine.

come faccio per trovare le equazioni differenziali? è corretto usare il principio di sovrapposizione degli effetti?

questo esercizio per esempio non mi viene:
http://img31.imageshack.us/img31/9622/img010k.jpg

ho posto \( \displaystyle {t}\lt{0} \) e ho fatto l'analisi in continua trovando \( \displaystyle {V}{c}{\left({0}\right)}={\left({V}{g{{2}}}{\left(={6}{V}\right.}\right.} \)
per \( \displaystyle {t}\gt{0} \), dopo aver sostituito il condensatore con un generatore di tensione e l'induttore con un generatore di corrente ho applicato il principio di sovrapposizione degli effetti per trovare Ic e Vl.
azzerando tutti i generatori tranne Vg1 ottengo \( \displaystyle {\left({I}{c}\right)}={3}{A} \); \( \displaystyle {\left({V}{l}\right)}={6}{V} \)
azzerando tutti i generatori tranne Il ottengo \( \displaystyle {\left({I}{c}\right)}=\frac{{{I}{l}}}{{3}}{A} \); \( \displaystyle {\left({V}{l}\right)}=\frac{{{2}{I}{l}}}{{3}}{V} \)
azzerando tutti i generatori tranne Vc ottengo \( \displaystyle {\left({I}{c}\right)}={2}{A} \); \( \displaystyle {\left({V}{l}\right)}=-{2}{V} \)
azzerando tutti i generatori tranne Vg2 ottengo \( \displaystyle {\left({I}{c}\right)}=\frac{{{V}{c}}}{{3}}{A} \); \( \displaystyle {\left({V}{l}\right)}={\left(\frac{{5}}{{3}}\right)}\cdot{V}{c}{V} \)

quindi le equazioni sono:
\( \displaystyle {C}\cdot\frac{{{d}{V}{c}{\left({t}\right)}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={5}+\frac{{1}}{{3}}\cdot{\left({I}{l}\right)}+\frac{{{V}{c}}}{{3}} \)
\( \displaystyle {L}\cdot\frac{{{d}{I}{l}{\left({t}\right)}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={4}+\frac{{2}}{{3}}\cdot{\left({I}{l}\right)}+\frac{{5}}{{3}}\cdot{\left({V}{c}\right)} \)

con le quali però non ottengo il risultato corretto.

forse sbaglio nel principio di sovrapposizione degli effetti a mettere i segni delle correnti. Come faccio a vedere se una corrente è positiva o negativa?

[Ska]

devi riportarti ad un'unica equazione differenziale che sarà del secondo ordine... quindi devi riuscire a esprimere ad esempio \( \displaystyle {i}_{{L}} \) solo in funzione di \( \displaystyle {v}_{{C}} \) e/o \( \displaystyle {v}'_{{C}} \)

[stefu1989]

si infatti. falle due equazioni che ho scritto ricavo poi una equazione unica espressa in funzione di Vc.

solo che seguendo il procedimento che ho seguito in quell'esercizio, non mi vengono i risultati corretti. volevo sapere se il procedimento è corretto

[Ska]

Non mi tornano le tue equazioni....

allora... io l'ho impostato così... facendo la maglia esterna... \( \displaystyle {9}-{\left({i}_{{L}}+{C}\cdot{v}'_{{C}}\right)}\cdot{R}{1}+{6}-{v}_{{C}}-{C}\cdot{v}'_{{C}}\cdot{R}{3}={0} \) da cui mi ricavo \( \displaystyle {i}_{{L}}=\frac{{{15}-{C}\cdot{\left({R}{1}+{R}{3}\right)}\cdot{v}'_{{C}}-{v}_{{C}}}}{{{R}{1}}} \) sostituendo i numeri risulta \( \displaystyle {i}_{{L}}={15}-{3}{v}'_{{C}}-{v}_{{C}} \)

prendendo la maglia di sinistra si ha \( \displaystyle {9}-{\left({i}_{{L}}+{C}\cdot{v}'_{{C}}\right)}\cdot{R}{1}-{L}\cdot{i}'_{{L}}={0} \) sostituendo si ha \( \displaystyle {9}-{\left({\left({15}-{3}\cdot{v}'_{{C}}-{v}_{{C}}\right)}+{v}'_{{C}}\right)}-{0.5}\cdot{\left(-{3}{v}{''}_{{C}}-{v}'_{{C}}\right)}={0} \) da cui
\( \displaystyle \frac{{3}}{{2}}{v}{''}_{{C}}+\frac{{5}}{{2}}{v}'_{{C}}+{v}_{{C}}={6} \)

risolvendo il polinomio caratteristico si ottengono gli autovalori del sistema \( \displaystyle -{1} \) e \( \displaystyle -\frac{{2}}{{3}} \), da cui poi si scrive la soluzione come \( \displaystyle {v}_{{C}}{\left({t}\right)}={c}{1}\cdot{{e}}^{{-{t}}}+{c}{2}\cdot{{e}}^{{-\frac{{2}}{{3}}{t}}}+{v}_{{p}}{\left({t}\right)} \)

\( \displaystyle {v}_{{p}}{\left({t}\right)}={A} \) da cui \( \displaystyle {A}={6} \) quindi la soluzione è \( \displaystyle {v}_{{C}}{\left({t}\right)}={c}{1}\cdot{{e}}^{{-{t}}}+{c}{2}\cdot{{e}}^{{-\frac{{2}}{{3}}{t}}}+{6} \)

ora vediamo come determinare la condizione iniziale, guardando il circuito per \( \displaystyle {t}\lt{0} \) quindi con l'interruttore aperto, dato che si trova a regime, siamo in continua, quindi... l'induttore è un corto-circuito, il condensatore un circuito aperto, dunque la tensione ai capi del condensatore è pari a quella di \( \displaystyle {V}{g{{2}}}={6} \) dato che sono orientati in verso opposto.

Quindi \( \displaystyle {v}_{{C}}{\left({0}\right)}={6} \)... dobbiamo calcolarci anche la condizione iniziale sull'induttore per poter determinare \( \displaystyle {v}'_{{C}}{\left({0}\right)} \), sempre guardando il circuito la corrente che scorre nell'induttore è tutta quella proveniente dalla maglia di sinistra quind \( \displaystyle {i}_{{L}}{\left({0}\right)}=\frac{{9}}{{{R}{1}+{R}{2}={3}}}={3} \) quindi dato che \( \displaystyle {v}'_{{C}}{\left({0}\right)}={5}-\frac{{{i}_{{L}}{\left({0}\right)}}}{{3}}-\frac{{{v}_{{C}}{\left({0}\right)}}}{{3}}={5}-{1}-{2}={2} \)

quindi imponendo queste si ottiene

\( \displaystyle {c}{1}+{c}{2}={0} \) e \( \displaystyle -{c}{1}-\frac{{2}}{{3}}{c}{2}={2} \) da cui si ottiene \( \displaystyle {c}{1}=-{6} \) e \( \displaystyle {c}{2}={6} \)

[Giupeppe9]

Ma la corrente che attraversa R1 è data dalla somma di iL (corrente dell'induttore) e iC (corrente del condensatore)? E perchè, nel momento in cui si chiude l'interruttore, non si considera più R2? Non riesco a capire

[Blackorgasm]

[OT]

@Giuseppe9: quando chiudi l'interruttore hai un corto circuito in parallelo ad una resistenza \( \displaystyle \Rightarrow \) tutta la corrente passa dal corto circuito, quindi la resistenza è come se non ci fosse.

[/OT]

[Giupeppe9]

Ah...ok grazie! mi puoi levare un altro dubbio? xD A quanto pare sei l'unico che può darmi una mano.... Nell'esempio di prima (per t<0) si trova che vc(0)=6 . Ma non capisco perchè! Scusa, come hai detto tu, devo sostituire il condensatore con un generatore di tensione....quindi applicando la LKT alla maglia di destra viene: Vg2+Vc(0)+R3*(iL(0))=0 ovvero Vc(0)=-R3*(iL(0))-Vg2=-2*3-6=-12....in cosa sbaglio? Per due generatori di tensione in serie non si dovrebbe fare la somma delle tensioni? Perchè dice che Vg2=Vc??? [/i]