Transitorio Regime Sinusolidale

[burm87]

Ciao a tutti, mi trovo a dover risolvere esercizi sui transitori con ingresso sinusoidale, però non riesco a venirne a capo. Ammettendo di avere un circuito ridotto con Norton, con una resistenza in parallelo con un'induttanza e un generatore di corrente: mi vengono date le condizioni iniziali e la funzione in ingresso. Il mio problema è nel calcolare la particolare, so che deve essere del tipo \( \displaystyle {A}{\cos{{\left(\omega{t}+\phi\right)}}} \) e le dispense mi dicono di utilizzare le trasformate di Steinmetz (fasori), ma non riesco a capire come. Grazie.

[Benny]

La particolare è di quel tipo perchè corrisponde all'ingresso sinusoidale applicato ad un circuito del primo ordine.
Ora immagino tu sappia che data una grandezza (tensione o corrente) \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)} \) si avrà:
\( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={\left({x}{\left({0}\right)}-{x}_{{p}}{\left({0}\right)}\right)}\cdot{{e}}^{{-{{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}}}}+{x}_{{p}}{\left({t}\right)} \) con \( \displaystyle {x}_{{p}} \) soluzione particolare e \( \displaystyle {T} \) costante di tempo.

Non devi far altro che scrivere l'ingresso in forma fasoriale e impedenze in termini di \( \displaystyle {R} \), \( \displaystyle {j}{w}{L} \) e \( \displaystyle \frac{{1}}{{{j}{w}{C}}} \). Trovi l'espressione che lega il fasore \( \displaystyle {X} \) all'ingresso e ne ricavi modulo e fase da sostituire nell'espressione che hai scritto.

La particolare, nel caso sinusoidale, altro non è che il regime, per questo è lecito usare Steinmetz.

[burm87]

La particolare è di quel tipo perchè corrisponde all'ingresso sinusoidale applicato ad un circuito del primo ordine.
Ora immagino tu sappia che data una grandezza (tensione o corrente) \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)} \) si avrà:
\( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={\left({x}{\left({0}\right)}-{x}_{{p}}{\left({0}\right)}\right)}\cdot{{e}}^{{-{{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}}}}+{x}_{{p}}{\left({t}\right)} \) con \( \displaystyle {x}_{{p}} \) soluzione particolare e \( \displaystyle {T} \) costante di tempo.

Non devi far altro che scrivere l'ingresso in forma fasoriale e impedenze in termini di \( \displaystyle {R} \), \( \displaystyle {j}{w}{L} \) e \( \displaystyle \frac{{1}}{{{j}{w}{C}}} \). Trovi l'espressione che lega il fasore \( \displaystyle {X} \) all'ingresso e ne ricavi modulo e fase da sostituire nell'espressione che hai scritto.

La particolare, nel caso sinusoidale, altro non è che il regime, per questo è lecito usare Steinmetz.

Allora, pongo meglio il mio problema Questo è l'esercizio che devo risolvere:


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Inizio riducendo il circuito con Norton e mi trovo ad avere un circuito RL parallelo con un generatore di corrente \( \displaystyle -{0},{05}{\cos{{\left({3000}{t}-\frac{\pi}{{4}}\right)}}} \), una resistenza equivalente di 300 e l'induttanza di 0,1H. Avrei bisogno di capire il bene il procedimento utilizzando i fasori perchè se verifico l'uguaglianza inserendo il mio risultato nell'equazione risolutiva (omogenea associata+particolare), non ottengo un'identità.

[Benny]

Sarà \( \displaystyle {I}_{{L}}=\frac{{300}}{{{300}+{j}{\left({1000}\cdot{0},{1}\right)}}}\cdot{I}_{{s}} \) (partitore di corrente) con \( \displaystyle {I}_{{s}}=-{0.05}{{e}}^{{-{{j}}}}\frac{\pi}{{4}} \). A questo punto trovi modulo e fase di \( \displaystyle {I}_{{L}} \) e le sostituisci ad \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle \phi \). Ti torna?

P.S. Studi a Trieste, vero?

[burm87]

Sarà \( \displaystyle {I}_{{L}}=\frac{{300}}{{{300}+{j}{\left({1000}\cdot{0},{1}\right)}}}\cdot{I}_{{s}} \) (partitore di corrente) con \( \displaystyle {I}_{{s}}=-{0.05}{{e}}^{{-{{j}}}}\frac{\pi}{{4}} \). A questo punto trovi modulo e fase di \( \displaystyle {I}_{{L}} \) e le sostituisci ad \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle \phi \). Ti torna?

P.S. Studi a Trieste, vero?

No, non mi torna perchè nel partitore al denominatore la \( \displaystyle \omega \) non dovrebbe essere 3000? Comunque si studio a Trieste, anche tu? L'hai capito dal testo dell'esercizio?

[Benny]

Perché ho fatto un errore di battitura, scusami.

Sì, ho riconosciuto nel disegno la calligrafia del prof. Pastore.

[burm87]

Perché ho fatto un errore di battitura, scusami.

Sì, ho riconosciuto nel disegno la calligrafia del prof. Pastore.

Ecco, allora dovresti sapere cosa sto provando

Se invece ho una sorgente esponenziale, la mia particolare sarà del tipo \( \displaystyle {K}{{e}}^{{-{{\left(\frac{{t}}{\tau}\right)}}}}+{C} \)?

[Benny]

Sì, con \( \displaystyle {K}={A}\cdot\frac{{T}_{{S}}}{{{T}_{{S}}-{T}}} \) e \( \displaystyle {A} \) coefficiente della sorgente. Se non vado errato però \( \displaystyle {C}={0} \). Dai tuoi appunti risulta forse il contrario?

[burm87]

Sì, con \( \displaystyle {K}={A}\cdot\frac{{T}_{{S}}}{{{T}_{{S}}-{T}}} \) e \( \displaystyle {A} \) coefficiente della sorgente. Se non vado errato però \( \displaystyle {C}={0} \). Dai tuoi appunti risulta forse il contrario?

No mi risulta proprio come dici tu, però in un esercizio mi trovo ad avere un circuito ridotto coi soliti metodi con un parallelo tra una R e una L e una sorgente di corrente esponenziale \( \displaystyle -\frac{{1}}{{10}}\cdot{{e}}^{{-{1000}{t}}}+\frac{{1}}{{16}} \) e utilizzando come particolare \( \displaystyle {K}{{e}}^{{-\frac{{t}}{\tau}}} \) mi si annullano tutti i termini con K quindi la cosa non ha molto senso visto che K è proprio quello che devo trovare. Sbaglio qualcosa, ma non so cosa e non trovo un esercizio svolto di alcun tipo da nessuna parte.

Ma \( \displaystyle {T} \) è il tau del circuito giusto? Quindi \( \displaystyle \frac{{L}}{{R}} \)? E \( \displaystyle {T}_{{s}} \) invece cos'è?

[Benny]

Ci deve essere un problema nella pagina, visualizzo bene le tue risposte solo quando rispondo. Chiederò all'amministrazione.

Sì, ho indicato con \( \displaystyle {T} \) la costante di tempo (tau) del circuito (cioè \( \displaystyle \frac{{L}}{{R}} \) o \( \displaystyle {G}{L} \) a seconda di come ti è più facile ricordarla) e con \( \displaystyle {T}_{{S}} \) la tau della sorgente. Non ricordavo lo script per tau .
Attenzione, la sorgente che mi hai indicato ha una componente esponenziale ed una continua. Devi usare il principio di sovrapposizione delle particolari.