[Metodi Mat. per l'ingegneria] Trasformata di Fourier

[Denny8x]

sul mio eserciziario tra gli esercizi svolti ho trovato le seguenti funzioni

u(x)= $3x/(x^2 + 9)$

g(x)=$x/(x^2 + 2x+1)$

di entrambe va calcolata la TDF

in entrambi i casi l'idea è di sfruttare la trasformata notevole di $1/(x^2 +a^2)$
per arrivare a questa forma però si passa attraverso dei passaggi prendo la seconda per semplicità

$x/(x^2 + 2x+1) = x/((x+1)^2+1)$

pone $h(x)=1/((x+1)^2+1)$
a questo punto applica $F(h(x))'(\lambda)= -iF(x*h(x))(\lambda)$

è corretto? sul libro tra le ipotesi che reggevano questa formula c'era che sia h(x) che xh(x) devono essere in $L^1$ e per quanto h(x) lo sia x*h(x) non vedo come possa esserlo.
ciao a tutti e grazie

[ciampax]

In effetti $x\cdot h(x)$ non è $L^1$, ma mi chiedo se effettivamente tu debba usare tale ipotesi. Infatti, la funzione $x\cdot h(x)\in C^\infty$ ed hai che

$|\frac{d^k}{d x^k}(x\cdot h(x))|\leq\frac{k!}{x^{k+1}}\leq\frac{1}{x}$ per $|x|\rightarrow\infty$

quindi la funzione $x\cdot h(x)$ appartiene alla classe di funzioni di Schwarz su cui la trasformata di Fourier risulta sempre definita ed invertibile!

[ayeyye]

la devi usare la proprietà della trasformata della derivata. in entrambi i casi hai un numerato che è la derivata del denominatore a meno di costanti moltiplicative, e poi sono solo calcoli. das quel che ricordo possono essere anche L^2 le funzioni trasformabili, solo che devi definire la trasformata nel senso distribuzionale, come limite di una successione di funzioni

[Ska]

per le funzioni $u \in L^2$ definendo $\hat {u_R}(\xi) = \int_{RR^n} \chi_R(x)u(x)e^{-i\xi\cdot x}dx$ con $\chi_R(x) = {(1, \text{se }x\in B_R(0)),(0, \text{altrove}):}$
si ha che la trasformata di u è definita come $\hat u(\xi) = \lim_{R \rightarrow +\infty} \hat{u_R}(\xi)$ con il limite inteso nel senso di $L^2$ cioè tale che $\lim_{R\rightarrow +\infty} ||\hat u -\hat{u_R}||_{L^2} = 0$.

In parole povere e poco formali, se calcolando la trasformata come se fosse una funzione $L^1$ si ottiene qualcosa di finito allora quella è la trasformata $L^2$.