trasformata di fourieri di un segnale "rettangolare&quo

[giozh]

ho la funzione x(t) vale:
2 per -0.5<=t<=0.5
1 per t<-1 e t>1
0 altrove
e devo calcolarne la trasformata. prima cosa scompongo il segnale in due segnali, e la trasformata la calcolo come somma delle trasformate dei due segnali:
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} e^{-i\omega t} dt +\int_{-1/2}^{1/2}e^{-i\omega t} dt \)
che mi viene
\( \displaystyle -\frac{1}{i2\pi f} [ e^{-i2\pi f}-e^{i2\pi f} + e^{-i\pi f}-e^{i\pi f}] \)
poi ho trasformato gli esponenziali in coseno+iseno, ma il risultato viene 0:
\( \displaystyle -\frac{1}{i2\pi f}[ \cos(-2\pi f) +i \sin(-2\pi f)- \cos(2\pi f)-i \sin(02\pi f) + \cos(-\pi f) +i \sin(-\pi f)- \cos(\pi f)-i \sin(0\pi f) ] \)
e non credo che possa venire 0 perchè il risultato mi serve per fare altri esercizi... dove sbaglio?
forse considero male quella f dentro gli argomenti di seno e coseno??

[luca.barletta]

La somma di quei termini non dà zero.

[giozh]

mmm scusa una cosa che magari è banale, quella f li come la devo considerare?

[luca.barletta]

Quella che hai scritto è l'espressione della trasformata di \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)} \), che è una funzione di \( \displaystyle {f} \): \( \displaystyle {X}{\left({f}\right)} \).

[Whisky84]

mmm scusa una cosa che magari è banale, quella f li come la devo considerare?

che intendi?

Stavo guardando la funzione da \( \displaystyle \mathcal{F} \) -trasformare... a me non sembra un impulso rettangolare, ma un impulso rettangolare sommato a due gradini, di cui uno traslato e uno ribaltato e traslato:

\( \displaystyle x(t) = rect_1(t) + u_{-1}(t-1) + u_{-1}(-t-1) \)
(Che può essere riscritto anche in altri modi, ovviamente)

Sicuro che questa \( \displaystyle \mathcal{F} \) -trasformata non sia da fare sfruttado trasformate notevoli e proprietà della trasformata di Fourier?

[Whisky84]

Ciò che intendo è che il segnale che hai indicato tu parrebbe essere:
\( \displaystyle x(t) =
\[\begin{sistema} -
1\qquad t<-1 \\
2\qquad -0.5\leq t\leq 0.5 \\
1\qquad t>1\\
0\quad \textrm{altrimenti}
\end{sistema}\] \)

il cui grafico è:

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[giozh]

nono, non è quello il segnale. il segnale a da -1 a -1/2 vale 1, poi da -1/2 a 0 vale 2 e poi è simmetrico rispetto l'origine

Quella che hai scritto è l'espressione della trasformata di \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)} \), che è una funzione di \( \displaystyle {f} \): \( \displaystyle {X}{\left({f}\right)} \).

si ma ti giuro, non riesco a capacitarmi di come andare avanti...

[luca.barletta]

si ma ti giuro, non riesco a capacitarmi di come andare avanti...

devi solo sommare quei termini e scriverli meglio, dovrebbero rimanere solo i termini in seno.

[Whisky84]

nono, non è quello il segnale. il segnale a da -1 a -1/2 vale 1, poi da -1/2 a 0 vale 2 e poi è simmetrico rispetto l'origine.

Ahhh ok allora avevi scritto male il segnale nel primo post

Veniamo ai tuoi conti, che alla luce di questo tuo chiarimento risultano quindi essere impostati bene:
\( \displaystyle -\dfrac{1}{i2\pi f}\left[e^{-i2\pi f} - e^{i2\pi f} + e^{-i\pi f} - e^{i\pi f}\right] \)
e riscriviamo così:
\( \displaystyle \dfrac{1}{i2\pi f}\left[ (e^{i2\pi f} -e^{-i2\pi f}) + (e^{i\pi f} - e^{-i\pi f}) \right] \)

e ora applica questa formula:
\( \displaystyle \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = \sin(x) \)