trasformata di Laplace

[francalanci]

la rappresentazione ingresso/stato/uscita di un sistema dinamico è caratterizzato dal seguente sistema
\( \displaystyle {x}'{\left({t}\right)}={A}{x}{\left({t}\right)}+{B}{u}{\left({t}\right)} \) dove x(t) è il vettore delle variabili di stato e A è una matrice
\( \displaystyle {y}{\left({t}\right)}={C}{x}{\left({t}\right)}+{d}{u}{\left({t}\right)} \)
il mio professore risolve la prima equzione con la trasformata di Laplace \( \displaystyle {S}{X}{\left({S}\right)}-{x}{\left({0}\right)}={A}{X}{\left({S}\right)}+{B}{U}{\left({S}\right)} \)
si ricava X(S): \( \displaystyle {X}{\left({S}\right)}={{\left({S}{I}-{A}\right)}}^{{-{{1}}}}{X}{0}+{{\left({S}{I}-{A}\right)}}^{{-{{1}}}}{B}{U}{\left({S}\right)} \).
Ora la anti-trasformata del termine \( \displaystyle {{\left({S}{I}-{A}\right)}}^{{-{{1}}}} \) è f(t)
dove f(t) è \( \displaystyle {f{{\left({t}\right)}}}={I}+{A}{t}+{{A}}^{{2}}\frac{{{t}}^{{2}}}{{{2}!}}+\ldots.={{e}}^{{{A}{t}}} \) ora che la anti-trasformata di \( \displaystyle {{\left({S}{I}-{A}\right)}}^{{-{{1}}}} \) è f(t) è una definizione oppure c'è qualche passagio per arrivarci. Io ho collegato il fatto che la anti-trasormata di \( \displaystyle \frac{{1}}{{{s}-{a}}} \) è \( \displaystyle {{e}}^{{{a}{t}}} \) non so se centra qualcosa in questo caso