Triangolo dalle lunghezze con potenze - SNS 1975

[elios]

"Siano dati tre numeri \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \). Supponiamo che, per ogni numero intero positivo \( \displaystyle {n} \), esista un triangolo le lunghezze dei lati del quale sono \( \displaystyle {{a}}^{{n}} \), \( \displaystyle {{b}}^{{n}} \), \( \displaystyle {{c}}^{{n}} \), rispettivamente. Dimostrare che tutti questi triangoli sono isosceli."

Allora, io ho cercato di ridare una formulazione a questo esercizio in questo modo: \( \displaystyle {a} \),\( \displaystyle {b} \),\( \displaystyle {c} \) sono tali che per ogni \( \displaystyle {n} \), \( \displaystyle {{a}}^{{n}} \), \( \displaystyle {{b}}^{{n}} \), \( \displaystyle {{c}}^{{n}} \) rappresentano lati di un triangolo. Ciò può avvenire solo per \( \displaystyle {a}={b} \).
Ho iniziato a scrivere allora un po' di disuguaglianze triangolari, a partire da \( \displaystyle {n}={1} \). Quindi \( \displaystyle {a}\lt{b}+{c} \), \( \displaystyle {b}\lt{a}+{c} \), \( \displaystyle {c}\lt{a}+{b} \). Poi sono passata a \( \displaystyle {n}={2} \), \( \displaystyle {{a}}^{{2}}\lt{{b}}^{{2}}+{{c}}^{{2}} \), \( \displaystyle {{b}}^{{2}}\lt{{a}}^{{2}}+{{c}}^{{2}} \), \( \displaystyle {{c}}^{{2}}\lt{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}} \). E andando avanti ho notato che, più aumenta \( \displaystyle {n} \) più la disuguaglianza diventa più "precisa", si stringe di più intorno all'effettivo valore di \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \). Infatti \( \displaystyle {{a}}^{{2}}\lt{{b}}^{{2}}+{{c}}^{{2}}\lt{{\left({b}+{c}\right)}}^{{2}} \), e così via \( \displaystyle {{a}}^{{n}}\lt{{b}}^{{n}}+{{c}}^{{n}}\lt{{\left({a}+{b}\right)}}^{{n}} \), cioè se è verificata \( \displaystyle {{a}}^{{n}}\lt{{b}}^{{n}}+{{c}}^{{n}} \), allora è verificata anche \( \displaystyle {a}\lt{b}+{c} \). Quindi dovrei analizzare soltanto le disequazioni con esponente \( \displaystyle {n} \).
L'informazione che non riesco ad applicare è che \( \displaystyle {a} \),\( \displaystyle {b} \),\( \displaystyle {c} \) sono tali che per ogni \( \displaystyle {n} \), \( \displaystyle {{a}}^{{n}} \), \( \displaystyle {{b}}^{{n}} \), \( \displaystyle {{c}}^{{n}} \) rappresentano lati di un triangolo. E' quell' "ogni \( \displaystyle {n} \)" che non so come applicare.. Forse dovrei applicare \( \displaystyle {n}={1} \), \( \displaystyle {n}={2} \), \( \displaystyle {n}={3} \) e così via?
Grazie dell'aiuto..

[giammaria]

Ti do solo il mio inizio: supposto \( \displaystyle {c}\ge{b}\ge{a} \) e posto p=b-a si ha \( \displaystyle {{c}}^{{n}}\gt{{b}}^{{n}}-{{a}}^{{n}} \). Essendo \( \displaystyle {{\left({a}+{p}\right)}}^{{n}}\gt{{a}}^{{n}}+{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}{p} \), allora ...

[elios]

\( \displaystyle {{c}}^{{n}}\gt{{b}}^{{n}}-{{a}}^{{n}}={{\left({a}+{p}\right)}}^{{n}}-{{a}}^{{n}}\gt{{a}}^{{n}}+{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}\cdot{p}-{{a}}^{{n}}={n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}\cdot{p} \)
quindi \( \displaystyle {{c}}^{{n}}\gt{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}\cdot{p}={n}\cdot{{a}}^{{n}}{\left(\frac{{b}}{{a}}-{1}\right)} \)

ci penso ancora..

[corretto]

[giammaria]

Correggi il c in \( \displaystyle {{c}}^{{n}} \). Poi p<...
EDIT: mi accorgo di un errore e me ne scuso: L'ordine dei lati deve essere \( \displaystyle {b}\ge{a}\ge{c} \). Questo rende falsa la mia affermazione seguente; non la cancello per non confondere le idee a chi l'ha già letta.
Aggiungo un'osservazione: la mia dimostrazione conclude che a=b ma non usa le relazione \( \displaystyle {c}\ge{b} \). Il ragionamento può quindi essere fatto scambiando queste due lettere e concludendo con a=c: l'ipotesi vale solo se il triangolo è equilatero.

[elios]

\( \displaystyle {{c}}^{{n}}\gt{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}\cdot{p} \)
\( \displaystyle {p}\lt\frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \)
Poi ho studiato l'espressione \( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \), cercando di capire se al crescere di \( \displaystyle {n} \), anche l'espressione cresceva o diminuiva.. Ho provato a vedere cosa succede se impongo che l'espressione, all'aumentare di \( \displaystyle {n} \), cresca:
\( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}}\gt\frac{{{c}}^{{{n}-{1}}}}{{{\left({n}-{1}\right)}\cdot{{a}}^{{{n}-{2}}}}} \)
e dopo qualche calcolo
\( \displaystyle \frac{{{c}{\left({n}-{1}\right)}-{n}{a}}}{{{n}{{a}}^{{n}}\cdot{c}{\left({n}-{1}\right)}}}\gt{0} \), cioè \( \displaystyle {c}\gt\frac{{n}}{{{n}-{1}}}\cdot{a} \)
All'aumentare di \( \displaystyle {n} \) (per il limite per \( \displaystyle {n} \) che tende all'infinito) \( \displaystyle \frac{{n}}{{{n}-{1}}} \) tende ad \( \displaystyle {1} \). Cioè all'aumentare di \( \displaystyle {n} \) \( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \) aumenta se \( \displaystyle {c} \) tende ad \( \displaystyle {a} \) (ci si avvicina restandone maggiore).
Allo stesso modo se provo ad imporre che l'espressione all'aumentare di \( \displaystyle {n} \) diminuisca ottengo simmetricamente:
\( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}}\lt\frac{{{c}}^{{{n}-{1}}}}{{{\left({n}-{1}\right)}\cdot{{a}}^{{{n}-{2}}}}} \) e \( \displaystyle {c}\lt\frac{{n}}{{{n}-{1}}}\cdot{a} \)
Cioè all'aumentare di \( \displaystyle {n} \) \( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \) diminuisce se \( \displaystyle {c} \) tende ad \( \displaystyle {a} \) (ci si avvicina restandone minore). (Qualcuno mi aiuti ad interpretare questo risultato se ha un senso!)

Comunque se considero il caso in cui \( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \) diminuisce all'aumentare di \( \displaystyle {n} \), essendo \( \displaystyle {p}\lt\frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \), devo considerare il caso in cui \( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \) sia minimo, essendo valido per ogni \( \displaystyle {n} \), cioè il caso in cui \( \displaystyle {c}={a} \).

Mi scuso per questo ragionamento, è quello che ho partorito finora.. Ci sono sicuramente errori grossolani e terrificanti.. Intanto continuo a pensarci, grazie ancora per le dritte..

[giammaria]

Consiglio: cerca cose più facili. Spero che tu abbia notato che ho corretto un errore e che si ha \( \displaystyle {c}\le{a} \).

[elios]

Sì ma non ho capito perché lo hai corretto.. Comunque la disuguaglianza triangolare iniziale si può scrivere per tutti e tre i lati..

[giammaria]

Il motivo c'è: mi serviva così. Un altro aiuto: la mia tesi è p=0.

[elios]

Sì. Allora ipotizzando che \( \displaystyle {c}\le{a} \), allora \( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \) diminuisce sempre all'aumentare di \( \displaystyle {n} \), mantenendosi sempre non negativo. Quindi, essendo la disequazione \( \displaystyle {p}\le\frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \) valida per ogni \( \displaystyle {n} \), per \( \displaystyle {n} \) che tende all'infinito l'espressione \( \displaystyle \frac{{{c}}^{{n}}}{{{n}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}}} \) tenderà a zero, e così \( \displaystyle {p} \), che è sempre non negativo (\( \displaystyle {p}={b}-{a} \) con\( \displaystyle {b}\ge{a} \)), tenderà a zero. \( \displaystyle {p}={0} \), \( \displaystyle {b}-{a}={0} \) cioè \( \displaystyle {a}={b} \).

[WiZaRd]

Mmm... vorrei esporre un mio dubbio. Il numero \( \displaystyle {p} \) tende a \( \displaystyle {0} \), non fa \( \displaystyle {0} \), quindi a rigore di logica non puoi porre \( \displaystyle {p}={0} \), o sbaglio?