Triangolo e mediane - SNS

[elios]

Riporto il testo dell'esame alla SNS dell'anno 2001:

"Sia G il punto di intersezione delle due mediane AH e BK del triangolo ABC. Sapendo che nel quadrilatero GHCK è inscritto un cerchio di raggio uguale a quello del cerchio inscritto nel triangolo ABG, trovare i rapporti \( \displaystyle \frac{{{A}{B}}}{{{B}{C}}} \), \( \displaystyle \frac{{{B}{C}}}{{{C}{A}}} \), \( \displaystyle \frac{{{C}{A}}}{{{A}{B}}} \)."

Ho considerato la proprietà del baricentro, per cui: \( \displaystyle {B}{G}={2}{G}{K} \) e \( \displaystyle {A}{G}={2}{G}{H} \).
Il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza, per cui: \( \displaystyle {K}{G}+{C}{H}={G}{H}+{K}{C} \), che può essere trasformato in \( \displaystyle {B}{G}+{B}{C}={A}{G}+{A}{C} \).
Non so come sfruttare i due raggi uguali; sono solo arrivata a che pensare che la circonferenza inscritta in GHCK è anche la circonferenza inscritta al triangolo ACH e al triangolo BKC.
Non so cos'altro tirare fuori.. Grazie

[adaBTTLS]

penso che potresti arrivarci attraverso le aree di ABG e KGHC...
non farmi fare i conti, perché penso che tu sia in grado di arrivarci da sola. ciao.

[elios]

Grazie della fiducia Intendi che posso mettere in relazione le aree sapendo che i raggi sono uguali?

[adaBTTLS]

se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, l'area è data dal raggio per il semiperimetro (OK? basta considerare gli n triangoli con vertice nel centro e stessa altezza uguale al raggio...).
inoltre puoi ricavarti le due aree come frazione dell'area del triangolo ABC (almeno mi pare sia semplice!)
se il raggio è lo stesso, i perimetri saranno in proporzione con le aree.
spero di essere stata chiara ed utile. ciao.

[elios]

Ho fatto ciò che mi hai consigliato: ho scritto la proporzione fra aree e perimetri, cercando di esprimere gli addendi del perimetro solo in funzione dei tre lati, usando anche la formula della mediana.
Ho tentato di scrivere le due aree come frazione dell'area del triangolo ABC, ma non riesco a trovare informazioni sufficienti: è un triangolo generico, e non riesco a capire come determinare la frazione di questi due poligoni interni delimitati dalle due mediane.. Grazie davvero.

[adaBTTLS]

G è il baricentro del triangolo ABC. dunque se chiamo M il punto medio di AB, G appartiene a CM. ogni mediana divide il triangolo in 2 parti equivalenti.
ma anche GH, GK, GM sono mediane...
il triangolo ABC resta diviso in 6 parti equivalenti. dunque il triangolo ABG ed il quadrilatero CKGH sono equivalenti tra loro, perché costituiti da 2 triangolini equivalenti: sono entrambi equivalenti ad 1/3 del triangolo ABC.
se i famosi raggi sono uguali, vuol dire che devono essere uguali i due perimetri:
AB+BG+GA=GH+HC+CK+KG
non ho voglia di continuare... ricordo a malapena il testo del quesito!
prova con il metodo che hai usato prima a ripartire da questo punto e fammi sapere. ciao.

[elios]

Ho fatto i calcoli:
Dal fatto che l'area dei due poligoni circoscritti \( \displaystyle {A}{B}{G} \) e \( \displaystyle {K}{G}{C}{H} \) è uguale ed essendo pari a \( \displaystyle {r}\cdot{p} \), ricavo che i loro perimetri sono uguali, e posso scrivere:
\( \displaystyle {A}{B}+{B}{G}+{A}{G}={G}{K}+{C}{H}+{G}{H}+{K}{C} \)
Essendo il quadrilatero \( \displaystyle {K}{G}{H}{C} \) circoscritto e quindi circoscrivibile ad una circonferenza, so che la somma dei lati opposti è uguale, ovvero \( \displaystyle {G}{K}+{C}{H}={G}{H}+{K}{C} \). Posso quindi modificare l'espressione sopra in questo modo:
\( \displaystyle {A}{B}+{B}{G}+{A}{G}={2}{\left({G}{K}+{C}{H}\right)} \)
Ora ricordo che \( \displaystyle {B}{G}=\frac{{2}}{{3}}{B}{K} \), poichè il baricentro \( \displaystyle {G} \) divide la mediana in due parti pari a \( \displaystyle \frac{{2}}{{3}} \) e \( \displaystyle \frac{{1}}{{3}} \) della mediana totale, e per lo stesso motivo ho \( \displaystyle {A}{G}=\frac{{2}}{{3}}{A}{H} \) e \( \displaystyle {G}{K}=\frac{{1}}{{3}}{B}{K} \). Ricordo inoltre che \( \displaystyle {H}{C}=\frac{{{B}{C}}}{{2}} \).
Riscrivo l'espressione:
\( \displaystyle {A}{B}+\frac{{2}}{{3}}{B}{K}+\frac{{2}}{{3}}{A}{H}={2}{\left(\frac{{1}}{{3}}{B}{K}+\frac{{{B}{C}}}{{2}}\right)} \)
\( \displaystyle {A}{B}+\frac{{2}}{{3}}{A}{H}={B}{C} \)

A questo punto posso sfruttare il teorema della mediana e ricordare che \( \displaystyle {A}{H}=\sqrt{{{\left(\frac{{{\left({A}{C}\right)}}^{{2}}}{{2}}\right)}+{\left(\frac{{{\left({A}{B}\right)}}^{{2}}}{{2}}\right)}-{\left(\frac{{{\left({B}{C}\right)}}^{{2}}}{{4}}\right)}}} \), e quindi
\( \displaystyle {A}{B}+\frac{{2}}{{3}}\sqrt{{{\left(\frac{{{\left({A}{C}\right)}}^{{2}}}{{2}}\right)}+{\left(\frac{{{\left({A}{B}\right)}}^{{2}}}{{2}}\right)}-{\left(\frac{{{\left({B}{C}\right)}}^{{2}}}{{4}}\right)}}}={B}{C} \).
Ho fatto i calcoli elevando al quadrato ed ottengo:
\( \displaystyle {2}{A}{{C}}^{{2}}+{18}{A}{B}\cdot{B}{C}={10}{B}{{C}}^{{2}}+{7}{A}{{B}}^{{2}} \)
anche se non credo sia molto utile..

[elios]

Non so come andare avanti..

[adaBTTLS]

il teorama della mediana lo hai studiato recentemente, per cui potrebbe essere un esercizio che ti imponga di usarlo?
perché io francamente non l'ho mai incontrato sulla mia strada...
io ho provato a farlo in altro modo, ma mi sembra talmente irreale che pensavo di ricorrere a Cabri per vedere se la costruzione sia possibile.
ho fatto un po' di conti che ora non ritrovo, ma che non mi sembravano molto interessanti.
l'unica cosa che potrei suggerirti, utile anche per arrivare ad un eventuale assurdo, è la seguente:
gli angoli in G appartenenti al triangolo e al quadrilatero sono opposti al vertice, per cui se i due raggi sono uguali i segmenti di tangente mandati da G alle due circonferenze devono risultare uguali. io avevo provato a chiamare t la lunghezza di ciascuno di questi quattro segmenti, e x, y, z le lunghezze degli altri segmentini a due a due congruenti del perimetro del quadrilatero. il perimetro del triangolo risulta 2AB+2t, per cui dovrebbe essere AB=x+y+z.
la cosa che mi rende sospettosa è il fatto di non riuscire a fare il disegno: se impongo i due raggi uguali, non viene il triangolo.
ho provato anche a seguire il tuo procedimento scrivendo le lunghezze delle altre mediane, tenendo conto anche delle mediane del triangolo HKM...
se ritrovo i fogli, posso scriverti i risultati, ma sono ben poca cosa..., nel senso che non intravedo soluzione.
pensa un po' anche tu se quella che ritengo l'unica informazione utile porta a qualcosa...
ciao.

[elios]

x, y, z le lunghezze degli altri segmentini a due a due congruenti del perimetro del quadrilatero.

Intendi ottenere una cosa simile?
\( \displaystyle {K}{G}+{C}{H}={G}{H}+{K}{C} \)
\( \displaystyle {t}+{x}+{y}+{z}={t}+{x}+{y}+{z} \)
Ma come faccio ad assegnare a \( \displaystyle {x} \) o \( \displaystyle {y} \) o \( \displaystyle {z} \) una specifica lunghezza se so solo che la loro somma è costante, ovvero so che \( \displaystyle {K}{G}+{C}{H}-{t}={x}+{y}+{z} \)?
Sempre se ho capito quello che volevi fare..