Trovare equazione dei piani

[Luca92]

Salve,
potreste dirmi se procedo bene o male?

Devo trovare l'equazione di due piani \( \displaystyle π:{a}{x}+{b}{y}+{c}{z}+{d}={0} \) e \( \displaystyle σ:{a}'{x}+{b}'{y}+{c}'{z}+{d}'={0} \) tali da essere perpendicolari alla retta di equazione \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}=-{1}\\{y}={3}+{2}{t}\\{z}={1}-{t}}\right.} \) e che hanno distanza 1 dal punto O(0,0,0).

Ho fatto così:

Ho trovato il piano che contiene la retta r, trovandomi un punto di r, ad esempio P (-1,5,0), dato che la retta ha equazione cartesiana \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}=-{1}\\{y}={3}-{2}{z}+{2}}\right.} \), il vettore direttore della retta è \( \displaystyle {v}={\left({0},{2},-{1}\right)} \) e quindi il piano \( \displaystyle α:{0}{\left({x}+{1}\right)}+{2}{\left({y}-{5}\right)}-{1}{\left({z}-{0}\right)}={0}\Rightarrow{2}{y}-{z}-{10}={0} \). Ora il generico piano \( \displaystyle π:{a}{x}+{b}{y}+{c}{z}+{d}={0} \) deve essere perpendicolare a \( \displaystyle α:{2}{y}-{z}-{10}={0} \) e contenere la retta m, quindi, dato che i parametri direttori di α sono \( \displaystyle {v}={\left({0},{2},-{1}\right)} \), il piano passante per P è \( \displaystyle π:{a}{\left({x}+{1}\right)}+{b}{\left({y}-{5}\right)}+{c}{z}={0} \) e il prodotto vettoriale tra v e v' deve essere uguale a 0, dove v' è il vettore direttore di π, v'(a,-5b,c). Esce \( \displaystyle {v}\cdot{v}'={0}\Leftrightarrow-{10}{b}={c} \). Il generico piano π quindi ha equazione \( \displaystyle {a}{\left({x}+{1}\right)}+{b}{\left({y}-{5}\right)}-{10}{b}{z}={0} \). Ora l'ultima condizione è che la distanza da O valga 1. Ho imposto quindi \( \displaystyle \frac{{{\left|{a}-{5}{b}\right|}}}{\sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{100}{{b}}^{{2}}}}}={1} \) e il risultato che mi esce è \( \displaystyle {b}={0} \) e \( \displaystyle {b}=-\frac{{5}}{{38}}{a} \). Mi escono così due piani \( \displaystyle π:{a}{\left({x}+{1}\right)}={0} \) e \( \displaystyle σ:{a}{\left({x}+{1}\right)}-\frac{{5}}{{38}}{a}{\left({y}-{5}\right)}-\frac{{25}}{{19}}{a}{z}={0} \) per ogni a. Ora non so se è giusto, perché rimane questa a.

[prime_number]

Scusa ma perché non usi semplicemente il fatto che
\( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) è il vettore perpendicolare al piano \( \displaystyle {a}{x}+{b}{y}+{c}{z}+{d}={0} \) per ogni \( \displaystyle {d} \)?

Paola

[Luca92]

Quindi il piano perpendicolare alla retta è \( \displaystyle {2}{y}-{1}+{d}={0} \)? Calcolando la distanza da O viene \( \displaystyle \frac{{\left|{d}\right|}}{\sqrt{{5}}}={1} \) e quindi \( \displaystyle {d}=\pm\sqrt{{5}} \)?