Trovare i valori di K per cui è risolvibile - SNS 1961

[elios]

Questo è il testo dell'esercizio, che io ho risolto, e di cui però non riesco a completare l'ultima parte.

"Determinare un punto P esterno ad una circonferenza data di centro O e raggio r, tale che la differenza fra la distanza OP e la lunghezza di uno dei due segmenti tangenti condotti da P alla circonferenza abbia valore assegnato K. Dire per quali valori di K il problema è risolubile."

Quello che ho fatto è: ho posto il sistema di riferimento con origine nel centro della circonferenza e con asse x passante per P, così da avere il punto \( \displaystyle {P}{\left({h},{0}\right)} \). Chiamo il punto di tangenza con la circonferenza \( \displaystyle {C} \), che è dato dalla risoluzione del sistema:
\( \displaystyle {y}={m}{\left({x}-{h}\right)} \)
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}={{r}}^{{2}} \),
imponendo il delta uguale a zero. Ottengo \( \displaystyle {m}=\pm\sqrt{{\frac{{{{r}}^{{2}}}}{{{{h}}^{{2}}-{{r}}^{{2}}}}}} \).
Calcolando il \( \displaystyle -\frac{{b}}{{{2}{a}}} \) dell'equazione risolvente, trovo l'ascissa della soluzione del sistema, cioè l'ascissa di \( \displaystyle {C} \).
\( \displaystyle {x}_{{C}}=\frac{{{{m}}^{{2}}}}{{{1}+{{m}}^{{2}}}}\cdot{h}=\frac{{{r}}^{{2}}}{{h}} \)
\( \displaystyle {y}_{{C}}={m}{\left({x}_{{C}}-{h}\right)}=\frac{{r}}{{h}}\cdot\sqrt{{{{h}}^{{2}}-{{r}}^{{2}}}} \)
So che \( \displaystyle {O}{P}={\left|{h}\right|} \), e calcolo \( \displaystyle {P}{C}=\sqrt{{{{\left(\frac{{{r}}^{{2}}}{{h}}-{h}\right)}}^{{2}}+{{\left(\frac{{r}}{{h}}\cdot\sqrt{{{{h}}^{{2}}-{{r}}^{{2}}}}\right)}}^{{2}}}}=\sqrt{{{{h}}^{{2}}-{{r}}^{{2}}}} \)
Imposto la condizione richiesta
\( \displaystyle {O}{P}-{P}{C}={K} \)
\( \displaystyle {\left|{h}\right|}-\sqrt{{{{h}}^{{2}}-{{r}}^{{2}}}}={K} \)
da cui \( \displaystyle {h}=\frac{{{{K}}^{{2}}+{{r}}^{{2}}}}{{{2}\cdot{K}}} \)
Il punto P che gode della proprietà richiesta deve distare dal centro della circonferenza una distanza pari a \( \displaystyle \frac{{{{K}}^{{2}}+{{r}}^{{2}}}}{{{2}\cdot{K}}} \), con \( \displaystyle {K} \) assegnato.

Non riesco però a trovare dei limiti possibili per \( \displaystyle {K} \), se non, ovviamente, \( \displaystyle {K}\gt{0} \) (anche solo per definizione). Non riesco a trovarli soprattutto perché guardo l'espressione finale con \( \displaystyle {K} \).. Dovrei guardare altre parti del procedimento?

[giammaria]

Intanto suggerisco di non usare la geometria analitica: il triangolo OPC è rettangolo, quindi ricavi subito il valore di PC e l'equazione \( \displaystyle {h}-{k}=\sqrt{{{{h}}^{{2}}-{{r}}^{{2}}}} \). Questa ti fornisce una prima limitazione su k: i due membri devono avere lo stesso segno, quindi \( \displaystyle {k}\le{h} \). Hai già trovato \( \displaystyle {k}\gt{0} \); un'altra limitazione potrebbe venire da h > r (perchè P è esterno alla circonferenza), ma questa risulta sempre verificata.
Non metto h in valore assoluto perchè con questa lettera indico la lunghezza di OP; puoi evitare il valore assoluto anche con la geometria analitica, con semplice accorgimento di iniziare scrivendo che scegli gli assi in modo che per P passi il semiasse x positivo.

[elios]

Grazie.
Quindi il limite finale dovrebbe essere: \( \displaystyle {0}\lt{k}\lt{h} \)
ps: non ho idea di perché io abbia usato la geometria analitica effettivamente..

[adaBTTLS]

io ho trovato tre cose, non le ho scritte qualche giorno fa perché mi sembravano incomplete e poi non ho avuto tempo di tornarci su.
siccome però mi sembrano più restrittive di quanto avete trovato, provo a postarle.
1. disuguaglianza triangolare: \( \displaystyle {k}\lt{r} \)
2. consideriamo di tracciare un arco di circonferenza di centro P e raggio PT, dove T è un punto di tangenza. se chiamiamo H la pèroiezione di T su OP ed L il punto d'intersezione tra l'arco di circonferenza di centro P ed OP, \( \displaystyle {L}\in{O}{H} \). dunque dal primo teorema di Euclide, \( \displaystyle {{r}}^{{2}}={O}{H}\cdot{O}{P}\to{O}{H}=\frac{{{{r}}^{{2}}}}{{h}} \)
poiché \( \displaystyle {L}\in{O}{H} \), \( \displaystyle {k}={O}{L}\lt{O}{H}\to{k}\lt\frac{{{{r}}^{{2}}}}{{h}} \)
3. da \( \displaystyle {k}={O}{L}={O}{P}-{L}{P}={O}{P}-{P}{T} \), moltiplicando membro a membro per \( \displaystyle {O}{P}+{P}{T} \) si ha:
\( \displaystyle {k}\cdot{\left({O}{P}+{P}{T}\right)}={O}{{P}}^{{2}}-{P}{{T}}^{{2}}={O}{{T}}^{{2}}={{r}}^{{2}}\to{k}=\frac{{{{r}}^{{2}}}}{{{O}{P}+{P}{T}}} \) che conferma quello precedente...
anche se incompleto, vedi se può esserti utile. ciao.