Trovare i valori di K per cui è risolvibile - SNS 1961

[elios]

Questo è il testo dell'esercizio, che io ho risolto, e di cui però non riesco a completare l'ultima parte.

"Determinare un punto P esterno ad una circonferenza data di centro O e raggio r, tale che la differenza fra la distanza OP e la lunghezza di uno dei due segmenti tangenti condotti da P alla circonferenza abbia valore assegnato K. Dire per quali valori di K il problema è risolubile."

Quello che ho fatto è: ho posto il sistema di riferimento con origine nel centro della circonferenza e con asse x passante per P, così da avere il punto $P(h,0)$. Chiamo il punto di tangenza con la circonferenza $C$, che è dato dalla risoluzione del sistema:
$y=m(x-h)$
$x^2+y^2=r^2$,
imponendo il delta uguale a zero. Ottengo $m=+-sqrt[(r^2)/(h^2-r^2)]$.
Calcolando il $-b/(2a)$ dell'equazione risolvente, trovo l'ascissa della soluzione del sistema, cioè l'ascissa di $C$.
$x_C=(m^2)/(1+m^2)*h = r^2/h$
$y_C=m(x_C-h)=r/h*sqrt(h^2-r^2)$
So che $OP=|h|$, e calcolo $PC=sqrt[(r^2/h-h)^2 + (r/h*sqrt(h^2-r^2))^2]=sqrt(h^2-r^2)$
Imposto la condizione richiesta
$OP-PC=K$
$|h|-sqrt(h^2-r^2)=K$
da cui $h=(K^2+r^2)/(2*K)$
Il punto P che gode della proprietà richiesta deve distare dal centro della circonferenza una distanza pari a $(K^2+r^2)/(2*K)$, con $K$ assegnato.

Non riesco però a trovare dei limiti possibili per $K$, se non, ovviamente, $K>0$ (anche solo per definizione). Non riesco a trovarli soprattutto perché guardo l'espressione finale con $K$.. Dovrei guardare altre parti del procedimento?

[giammaria]

Intanto suggerisco di non usare la geometria analitica: il triangolo OPC è rettangolo, quindi ricavi subito il valore di PC e l'equazione $h-k=\sqrt(h^2-r^2)$. Questa ti fornisce una prima limitazione su k: i due membri devono avere lo stesso segno, quindi $k \le h$. Hai già trovato $k>0 $; un'altra limitazione potrebbe venire da h > r (perchè P è esterno alla circonferenza), ma questa risulta sempre verificata.
Non metto h in valore assoluto perchè con questa lettera indico la lunghezza di OP; puoi evitare il valore assoluto anche con la geometria analitica, con semplice accorgimento di iniziare scrivendo che scegli gli assi in modo che per P passi il semiasse x positivo.

[elios]

Grazie.
Quindi il limite finale dovrebbe essere: $0<k<h$
ps: non ho idea di perché io abbia usato la geometria analitica effettivamente..

[adaBTTLS]

io ho trovato tre cose, non le ho scritte qualche giorno fa perché mi sembravano incomplete e poi non ho avuto tempo di tornarci su.
siccome però mi sembrano più restrittive di quanto avete trovato, provo a postarle.
1. disuguaglianza triangolare: $k<r$
2. consideriamo di tracciare un arco di circonferenza di centro P e raggio PT, dove T è un punto di tangenza. se chiamiamo H la pèroiezione di T su OP ed L il punto d'intersezione tra l'arco di circonferenza di centro P ed OP, $L in OH$. dunque dal primo teorema di Euclide, $r^2=OH*OP ->OH=(r^2)/h$
poiché $L in OH$, $k=OL<OH ->k<(r^2)/h$
3. da $k=OL=OP-LP=OP-PT$, moltiplicando membro a membro per $OP+PT$ si ha:
$k*(OP+PT)=OP^2-PT^2=OT^2=r^2 -> k=(r^2)/(OP+PT)$ che conferma quello precedente...
anche se incompleto, vedi se può esserti utile. ciao.