trovare l'equazione dell'iperpiano affine

[ImpaButty]

Come calcolo nello spazio affine reale \( \displaystyle {{A}}^{{4}} \) l'equazione dell'iperpiano affine individuato dai punti:
A(1,-1,0,1) B(0,1,-1,0) C(1,0,-1,0) P(1,2,0,1) ?


So che se S è un iperpiano dello spazio affine A
dim(S)= dim(A)-1 quindi l'iperpiano avrà dimensione 3
...e poi?
Probabilmente è una cosa banale ma è il primo esercizio che trovo in cui si chiede l'eq dell'iperpiano...

Grazie per l'aiuto!

[cirasa]

Dalla teoria:
Per quattro punti affinemente indipendenti passa uno ed un solo sottospazio affine di dimensione \( \displaystyle {3} \) (detto spazio congiungente).
Questi quattro punti sono affinemente indipendenti? A me sembra di no, correggimi se sbaglio.

[ImpaButty]

Mi manca la definizione di punti affinemente indipendenti...
cosa si intende con questa espressione?

[mistake89]

\( \displaystyle {m}+{1} \) punti \( \displaystyle {P}_{{0}},\ldots,{P}_{{m}} \) si dicono affinemente indipendenti se sono linearmente indipendenti i vettori \( \displaystyle {P}_{{0}}{P}_{{i}} \) \( \displaystyle \forall{i}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{m}\right\rbrace} \)

[ImpaButty]

dai miei calcoli i punti risultano affinemente indipendenti...

[cirasa]

Eh già, hai ragione. Errore mio.
Appurato che \( \displaystyle {A},{B},{C},{D} \) sono affinemente indipendenti, dalla teoria, il sottospazio affine congiungente i punti \( \displaystyle {A},{B},{C},{D} \) ha come spazio direttore \( \displaystyle \lt{A}{B},{A}{C},{A}{P}\gt \) e passa per \( \displaystyle {A} \).
Hai tutte le informazioni che ti servono per determinare l'equazione (per esempio l'equazione parametrica) del tuo iperpiano.

[ImpaButty]

Quindi se l'iperpiano ha 3 vettori direttori,la sua equazione parametrica avrà 3 parametri...giusto?

ho un altro dubbio...mi viene chiesto di determinare le equazioni parametriche della retta affine passante per A e parallela alla retta che congiunge i punti B e C.
io ho trovato questa retta:
\( \displaystyle {\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}\\{t}}\right)} \)=\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)} \)s+\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{1}}\right)} \)

E' giusta?