Trovare la matrice rappresentativa data una sola base

[davideio]

ciao

ci sono esercizi dove ti da la funzione,base di partenza e base di arrivo e chiede di trovare la matrice caratteristica..questi li so fare. altri invece ti da solo una base..idea di come agire?
ad esempio

\( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}={\left({2}{x}+{3}{y},-{x}\right)} \)

trovare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di R^2

Grazie

[f4st]

Ciao ricordati che nelle colonne della matrice associata ci sono i vettori-immagini della base
se ti chiede rispetto a quella canonica che è \( \displaystyle \lt{\left({1},{0}\right)}{\left({0},{1}\right)}\gt \)

sulla prima colonna scrivi \( \displaystyle {f{{\left({1},{0}\right)}}} \) e la seconda colonna è \( \displaystyle {f{{\left({0},{1}\right)}}} \)

\( \displaystyle {A}={\left[\matrix{{2}&{2}\\-{1}&{0}}\right]} \)
ciao

[davideio]

inanzitutto grazie per la risposta.

detta così mi fa pensare che si consideri la base di arrivo come se fosse \( \displaystyle \lt{\left({0},{0}\right)}{\left({0},{0}\right)}\gt \) perchè in altri esercizi mi dava anche una base d'arrivo..ad esempio \( \displaystyle \lt{\left({1},{0}\right)}{\left({0},-{1}\right)}\gt \) e io li risolvevo ponendo a sistema f(base partenza)=X*base arrivo dove X è la nostra matrice rappresentativa

[f4st]

No.. \( \displaystyle \lt{\left({0},{0}\right)}{\left({0},{0}\right)}\gt \) non è assolutamente una base.. cosa potrebbe mai generare? solo il vettore nullo..
la tua applicazione è un endomorfismo, non specificando la base del codominio si sottintende che sia la base canonica cioè\( \displaystyle \lt{\left({1},{0}\right)}{\left({0},{1}\right)}\gt \)

per capire in modo concreto cosa sia la matrice
prova a moltiplicare un vettore alla matrice \( \displaystyle {\left[\matrix{{2}&{3}\\-{1}&{0}}\right]}{\left[\matrix{{x}_{{0}}\\{y}_{{0}}}\right]}= \) immagine di \( \displaystyle {\left({x}_{{0}},{y}_{{0}}\right)} \)
al vettore \( \displaystyle {\left({x}_{{0}},{y}_{{0}}\right)} \) metti due numeri a caso e osserva che ottieni la stessa cosa anche facendo \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{0}},{y}_{{0}}\right)}}} \)
cosi capisci il significato esatto della matrice A.. (magari già lo sai.. allora meglio ancora )

EDIT: corretto due indici sbagliate su 4°ultima riga

[davideio]

vediamo se ho afferrato:
nel mio primo esempio chiedeva di "trovare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di R^2" quindi si intende la base del dominio giusto?che in questo caso è ovviamente \( \displaystyle \lt{\left({1},{0}\right)}{\left({0},{1}\right)}\gt \) e ho capito come la si ottiene.
però a questo punto non capisco gli altri esercizi che svolgevo (correttamente vedendo le soluzioni dei prof) in cui mi dava 2 basi, una di partenza e una di arrivo.

queste potevano essere o una canonica e una non canonica (non so se è il termine giusto ) oppure 2 non canoniche.

in quel caso mettevo a sistema F(base di partenza)=X* base di arrivo.
e in effetti ricavavo una matrice uguale a quella delle soluzioni.

tutto questo per dire ciò:la base di arrivo (ipotizzo sia quella del codominio) cosa mi rappresenta?

[f4st]

Quando non è indicato la base del codominio si sottintende che sia la canonica.. come ti ho gia detto
quando lo devi rappresentare rispetto ad un altra base il concetto non cambia.. se avessi \( \displaystyle \lt{\left({2},{3}\right)}{\left({1},{5}\right)}\gt \) calcoli sempre la f su questi vettori e li metti in matrice..
i vettori trasformati dalla funzione a questo punto sono espressi secondo la base canonica.. ma nulla ci vieta di esprimere tali vettori già trasformati secondo un altra base che non sia la canonica.. basta moltiplicare alla matrice di cambiamento di base opportuna..
Hai già fatto le "matrici di cambiamento di base" ? vai a vederli cosi magari ti chiarisci di più

magari non capisco bene la tua domanda perché ho sonno aspettiamo se qualcun'altro può aiutarti a capire meglio

[davideio]

guarderò le matrici di cambiamento di base che magari mi aiutano.
provo a spiegarmi meglio:ho visto diversi tipi di esercizi.

data la F trovare la matrice rappresentativa con:

base di partenza canonica, base di arrivo \( \displaystyle \lt{2},-{3}\gt \)
base di partenza \( \displaystyle \lt{1},-{2}\gt \), base di arrivo \( \displaystyle \lt{4},-{7}\gt \)

mentre altri solo con base di partenza canonica.Quest'ultimi li risolvo come mi hai spiegato tu prima.Gli altri in maniera simile ma ponendo (considerando il secondo esempio) f(1,-2)=X * (4,-7) e ottengo un sistema di n=2 equazioni.

il mio dubbio quindi è questo:se mi da una sola base (canonica o no) come devo comportarmi con la seconda?