trovare luogo dei punti

[elios]

Si dice che un punto P esterno a una circonferenza C "vede" la circonferenza sotto un angolo \( \displaystyle \theta \) se l'angolo (contenente C) compreso tra le tangenti a C condotte da P è uguale a \( \displaystyle \theta \).
Date due circonferenze C, C' esterne l'una all'altra, di centri O, O' e raggi R,R', costruire il luogo dei punti che vedono le due circonferenze sotto lo stesso angolo.

[franced]

Data una circonferenza il luogo dei punti con la proprietà voluta è una circonferenza avente lo stesso
centro del cerchio iniziale.

Se ho due circonferenze, come nel tuo caso, dovrò per prima cosa costruire le due circonferenze relative
e trovare le intersezioni, se esistono.
Il luogo, al massimo, è costituito da due punti.

Una curiosità: se consideri i punti che vedono un'ellisse sotto un angolo retto trovi una circonferenza,
il cui raggio è pari a \( \displaystyle \sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}} \), dove \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono i due semiassi dell'ellisse.

Francesco Daddi

[manlio]

Dalla figura risulta:
\( \displaystyle {R}={P}{O}\cdot{\sin{{\left({a}\right)}}},{R}'={P}{O}'\cdot{\sin{{\left({a}\right)}}} \) e dividendo : \( \displaystyle \frac{{{P}{O}}}{{{P}{O}'}}=\frac{{R}}{{{R}'}} \)
Pertanto il luogo richiesto è quello dei punti per i quali è costante il rapporto delle distanze dai centri delle due circonferenze.Tale luogo è ipernoto ed è la cosiddetta Circonferenza di Apollonio.
Tale circonferenza si costruisce facilmente individuando su OO' i punti M ed N che dividono ,internamente ed esternamente ,il segmento OO' nel rapporto R/R'.La circonferenza richiesta sarà allora quella di diametro MN.
Ciao

[elios]

Per Manlio: ovvero quei due punti M e N tali che \( \displaystyle \frac{{{O}{M}}}{{{O}'{M}}}=\frac{{R}}{{R}}' \) e \( \displaystyle \frac{{{O}{N}}}{{{O}'{N}}}=\frac{{R}}{{R}}' \)? Anche io ero arrivata alla proporzione che hai scritto, ma non riuscivo in nessun modo ad andare avanti..
Per franced: non ho capito cosa intendi con 'circonferenze relative'..

[franced]

Io ho inteso male il problema; ho supposto che l'angolo fosse dato all'inizio e uguale per tutte e due le circonferenze.

Ho trovato un'altro luogo, ovviamente.

Francesco Daddi

[franced]

In realtà, prendendo di volta in volta angoli diversi, tutti i punti che trovo con i miei luoghi costituiscono
proprio il cerchio di Apollonio.

Francesco Daddi