Siano \( \displaystyle F,G \colon \mathbb R^{n} \to \mathbb{R}^{n} \) campi vettoriali di classe $C^1$. Si mostri con un esempio che la condizione di uguaglianza dei flussi
\[
\int_{\partial \Omega} F \cdot \nu \mathrm{d}\sigma = \int_{\partial \Omega} G \cdot \nu \mathrm{d}\sigma
\]
per ogni dominio \( \displaystyle \Omega \) limitato e con frontiera $C^{1}$ non implica in generale che $F-G$ è costante.
Si mostri invece che se $F,G$ sono irrotazionali e limitati, allora la condizione di uguaglianza dei flussi è sufficiente per concludere che $F-G$ è costante.
Prima di esporre le mie idee, lasciatemi dire che secondo me il testo è scritto male: che vuol dire irrotazionale per $n>3$? L'unica risposta che mi sono dato è: associo al campo $F = (f_1, \ldots, f_n)$ la 1-forma differenziale $\omega = f_1dx_1+\ldots+f_ndx_n$ e dico che $F$ è irrotazionale se $\omega$ è chiusa, $d\omega=0$. Che dite? Non che io ne sia molto convinto, ma è l'unica analogia che mi è venuta in mente con $\mathbb{R}^{3}$...
Ad ogni modo, viste le buone ipotesi di regolarità anche sul dominio, direi che posso applicare il teorema della divergenza e il problema si può quindi riformulare in termini di integrali di volume (e non di superficie) come
\[
\int_{\Omega} \text{div} H \mathrm{d}x = 0 \Rightarrow H = \mathbf{c}
\]
E' chiaro che in generale questo è falso, basta prendere il campo \( \displaystyle H \colon \mathbb R^{2} \to \mathbb R^{2} \) che manda $(x,y) \mapsto (x,-y)$. La divergenza è nulla, ma il campo non è costante. Vi torna?
E per la seconda parte? Non so bene che cosa fare, anche perchè temo di non aver ben chiaro il testo.
Grazie.