Uguaglianza dei flussi

Messaggioda Paolo90 » 18/04/2012, 17:34

Siano \( \displaystyle F,G \colon \mathbb R^{n} \to \mathbb{R}^{n} \) campi vettoriali di classe $C^1$. Si mostri con un esempio che la condizione di uguaglianza dei flussi
\[
\int_{\partial \Omega} F \cdot \nu \mathrm{d}\sigma = \int_{\partial \Omega} G \cdot \nu \mathrm{d}\sigma
\]
per ogni dominio \( \displaystyle \Omega \) limitato e con frontiera $C^{1}$ non implica in generale che $F-G$ è costante.

Si mostri invece che se $F,G$ sono irrotazionali e limitati, allora la condizione di uguaglianza dei flussi è sufficiente per concludere che $F-G$ è costante.


Prima di esporre le mie idee, lasciatemi dire che secondo me il testo è scritto male: che vuol dire irrotazionale per $n>3$? L'unica risposta che mi sono dato è: associo al campo $F = (f_1, \ldots, f_n)$ la 1-forma differenziale $\omega = f_1dx_1+\ldots+f_ndx_n$ e dico che $F$ è irrotazionale se $\omega$ è chiusa, $d\omega=0$. Che dite? Non che io ne sia molto convinto, ma è l'unica analogia che mi è venuta in mente con $\mathbb{R}^{3}$...

Ad ogni modo, viste le buone ipotesi di regolarità anche sul dominio, direi che posso applicare il teorema della divergenza e il problema si può quindi riformulare in termini di integrali di volume (e non di superficie) come
\[
\int_{\Omega} \text{div} H \mathrm{d}x = 0 \Rightarrow H = \mathbf{c}
\]

E' chiaro che in generale questo è falso, basta prendere il campo \( \displaystyle H \colon \mathbb R^{2} \to \mathbb R^{2} \) che manda $(x,y) \mapsto (x,-y)$. La divergenza è nulla, ma il campo non è costante. Vi torna?

E per la seconda parte? Non so bene che cosa fare, anche perchè temo di non aver ben chiaro il testo.

Grazie.
"Immaginate un bravo matematico come qualcuno che ha preso dal tenente Colombo per le doti investigative, da Baudelaire per l’ispirazione, dal montatore Faussone per il rigore e l’amore per “le cose ben fatte”, da Ulisse per la curiosità, l’ardimento e l’insaziabilità di conoscenza." (AC)
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Re: Uguaglianza dei flussi

Messaggioda Rigel » 19/04/2012, 13:23

Per il secondo punto (pregasi controllare):
per ipotesi \(H = F-G\) è un campo vettoriale irrotazionale su tutto \(\mathbb{R}^n\), dunque è conservativo, vale a dire esiste un potenziale \(V\in C^2(\mathbb{R}^n)\) tale che \(H = \nabla V\).
D'altra parte \(H\) ha divergenza nulla, dunque \(\Delta V = 0\), cioè \(V\) è una funzione armonica (in particolare, \(V\) è di classe \(C^{\infty}\)).
Ora, se \(V\) è una funzione armonica, anche le sue derivate parziali \(\partial_i V\) lo sono; dato che per ipotesi queste sono funzioni limitate, per il teorema di Liouville sono costanti. In conclusione, \(H = \nabla V\) è un vettore costante.
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Re: Uguaglianza dei flussi

Messaggioda Paolo90 » 19/04/2012, 20:45

Ti ringrazio molto per la risposta. Bello, semplice e pulito: direi che funziona tutto.

Solo una curiosità: ti torna la "mia" definizione di irrotazionale per $n >3$? Grazie ancora.
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Re: Uguaglianza dei flussi

Messaggioda Rigel » 20/04/2012, 11:31

Paolo90 ha scritto:Solo una curiosità: ti torna la "mia" definizione di irrotazionale per $n >3$? Grazie ancora.


Sì; in genere un campo \(F\) si dice irrotazionale se \(\frac{\partial F_j}{\partial x_i} = \frac{\partial F_i}{\partial x_j}\) per ogni \(i,j\).
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Messaggioda Paolo90 » 20/04/2012, 13:47

Bene, grazie per la conferma.

Comunque, ripensando alla tua dimostrazione, questa mattina mi è venuto un dubbio (è una cosa a cui ieri sera, leggendo la tua risposta, non ho pensato):

Rigel ha scritto: Per ipotesi \(H = F-G\) è un campo vettoriale irrotazionale su tutto \(\mathbb{R}^n\) [...] D'altra parte \(H\) ha divergenza nulla [...]


Mi chiedo: perchè la divergenza è nulla? Io so che \( \displaystyle \int_{\Omega} \mathrm{div}H \mathrm{d}x = 0 \) . Da qui segue che \( \displaystyle \mathrm{div}H=0 \) q.o. in $\Omega$ da cui, per la regolarità della funzione e l'arbitrarietà di $\Omega$, \( \displaystyle \mathrm{div}H = 0 \) su tutto $\mathbb R^{n}$.

E' corretto? Probabilmente è un dettaglio irrilevante, ma preferisco fare la domanda che tenermi il dubbio.
Grazie ancora.
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Re: Uguaglianza dei flussi

Messaggioda Rigel » 20/04/2012, 17:01

Tu hai che \(\int_{\Omega}\text{div} H = 0\) per ogni dominio \(\Omega\) (sufficientemente regolare).
Ciò implica che \(\text{div} H = 0\) in \(\mathbb{R}^n\).
In questo caso (\(\text{div} H\) continua) la dimostrazione è immediata: se per assurdo tu avessi \(\text{div} H (x_0)\neq 0\), per la permanenza del segno troveresti una pallina \(\Omega\) centrata in \(x_0\) dove \(\text{div} H\) ha lo stesso segno di \(\text{div} H(x_0)\), dunque otterresti l'assurdo \(\int_{\Omega}\text{div} H \neq 0\).
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