1) Un condensatore sferico è formato da due sfere concentriche, rispettivamente di raggio \( \displaystyle {r} \) ed \( \displaystyle {r}+{d} \) (\( \displaystyle {r},{d}\gt{0} \)). Inizialmente il condensatore è carico con carica \( \displaystyle {Q}_{{0}} \) e la d.d.p. tra le armature è \( \displaystyle \Delta{V}_{{0}} \). La sfera esterna si espande in modo da raddoppiare la distanza da quella interna; calcolare la capacità \( \displaystyle {C} \), la carica \( \displaystyle {Q} \) e la d.d.p. \( \displaystyle \Delta{V} \) tra le armature del condensatore nella nuova configurazione.
Ho risolto così: visto che il sistema è isolato la carica totale si conserva, quindi \( \displaystyle {Q}={Q}_{{0}} \); per la capacità \( \displaystyle {C} \) uso la formula \( \displaystyle {C}={4}\pi\epsilon_{{0}}\cdot\frac{{\text{raggio interno}\cdot\text{raggio esterno}}}{{\text{distanza tra le armature}}}={4}\pi\epsilon_{{0}}\cdot\frac{{{r}\cdot{\left({r}+{2}{d}\right)}}}{{{2}{d}}} \) e quindi \( \displaystyle \Delta{V}=\frac{{Q}}{{C}} \).
Che dite?
2) Un solenoide composto da \( \displaystyle {N} \) spire rettangolari di lati \( \displaystyle {a},{b}\gt{0} \) è immerso in un campo magnetico \( \displaystyle {\vec{{B}}} \) uniforme, costante nel tempo e parallelo all'asse del solenoide.
Il solenoide viene posto in rotazione intorno ad un asse ortogonale al proprio, parallelo ad uno dei lati delle spire e passante per il centro del solenoide con velocità angolare \( \displaystyle \omega \) in senso antiorario; determinare la velocità iniziale con cui si deve fare ruotare il solenoide affinché ai suoi capi si rilevi una f.e.m. massima \( \displaystyle {\mathcal{{E}}}_{{\max}} \).
Qui si deve usare la relazione \( \displaystyle {\mathcal{{E}}}=-\frac{{\text{d}\Phi}}{{\text{d}{t}}} \), dove \( \displaystyle \Phi \) è il flusso concatenato al solenoide generato dal campo \( \displaystyle {\vec{{B}}} \), quindi l'importante è determinare una relazione che leghi \( \displaystyle \Phi \) con \( \displaystyle {t} \) ed \( \displaystyle \omega \).
Se avessimo una sola spira posta in rotazione intorno ad uno dei suoi assi, il flusso del campo \( \displaystyle {\vec{{B}}} \) attraverso di essa sarebbe del tipo \( \displaystyle \phi={a}{b}\cdot{B}\cdot{\cos{{\left(\omega{\left({t}\right)}\cdot{t}\right)}}} \), in cui \( \displaystyle {B} \) è il modulo di \( \displaystyle {\vec{{B}}} \) (visto che il testo è poco chiaro su questo punto, suppongo che la velocità angolare \( \displaystyle \omega \) sia anch'essa variabile nel tempo); ne viene che il flusso totale si ottiene moltiplicando \( \displaystyle \phi \) per il numero di spire, cosicché \( \displaystyle \Phi{\left({t}\right)}={N}{a}{b}{B}\cdot{\cos{{\left(\omega{\left({t}\right)}\cdot{t}\right)}}} \).
A questo punto derivando rispetto al tempo trovo \( \displaystyle {\mathcal{{E}}}={N}{a}{b}{B}\cdot{\left[\omega+{t}\cdot\omega'\right]}\cdot{\sin{{\left(\omega\cdot{t}\right)}}} \) (ho omesso la dipendenza di \( \displaystyle \omega \) da \( \displaystyle {t} \))... Però mi pare un po' troppo incasinato.
D'altra parte, se suppongo che \( \displaystyle \omega \) sia costante, trovo \( \displaystyle {\mathcal{{E}}}={N}{a}{b}{B}\cdot\omega\cdot{\sin{{\left(\omega\cdot{t}\right)}}} \) il cui massimo dipende linearmente da \( \displaystyle \omega \), cosicchè più cresce \( \displaystyle \omega \) più \( \displaystyle {\mathcal{{E}}}_{{\max}} \) cresce.
Sento che mi sfugge qualcosa, però non riesco a capire cosa. Voi che consigliate?
Ringrazio tutti quelli che vorranno darmi una mano.
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